Уравнение последовательности с конечной производной

Уравнение последовательности с конечной производной — уравнение в математике, позволяющее записать любую последовательность, производная которой конечна. Производная последовательности и производная функции, задающей последовательность — разные понятия. Такой последовательностью будет считаться любая последовательность, записанная в виде многочлена. Уравнение последовательности записывается в виде функции с натуральным аргументом, значение которого — порядковый номер элемента последовательности. Уравнение имеет вид функции:

$f(x)=(x-1)!\sum _{k=1}^{m}{\frac {\alpha _{k}}{(x-k)!(k-1)!}}$,

где $m$ — минимальная длина производной последовательности, $a_{k}$ — k-й элемент производной последовательности ($k\in \mathbb {N}$).

Производная последовательности

Понятие производной последовательности

Пусть существует последовательность чисел, заданная уравнением $3x^{2}-2$ при $x\in \mathbb {N}$:

$1,\ 10,\ 25,\ 46,\ 73,\ 106\ ...$ и т.д.

Запишем под ней строку разности, т. е. ряд, каждый элемент которой равен минус разности двух элементов сверху:

${\begin{array}{lcl}1\qquad 10\qquad 25\qquad 46\qquad 73\qquad 106\\\ \ \ \ \ \ 9\qquad 15\qquad 21\qquad 27\qquad 33\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6\qquad \ \ 6\qquad \ \ 6\qquad \ \ 6\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\qquad \ \ 0\qquad \ \ 0\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\qquad \ \ 0\qquad \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\end{array}}$

Так выглядит схема последовательности. Строки разности подсчитываются следующим образом: берётся первая пара чисел из верхнего ряда и вычитается второе число из первого ($10-1=9$). Число $9$ записывается снизу под промежутком между двумя выбранными числами. Такая операция проводится и над числами $25$ и $10$ и так до конца ряда. Затем такая операция проводится и для получившегося ряда и так до конца. Ряд чисел, образованный первыми числами в каждом ряду с первого (в данном случае — $(1,\ 9,\ 6,\ 0,\ 0,\ 0\ ...)$) называется производной последовательности, так как она описывает скорость роста чисел в ней. Записывается производная последовательности через запятую в скобках. Элемент производной последовательности записывается $a_{k}$, где $k$ — порядковый номер элемента производной последовательности ($k\in \mathbb {N}$). Производная считается конечной, если нашлась такая строка разности, которая заполнена нулями.

Минимальная длина производной последовательности

Если существует некоторая производная, то из неё можно восстановить последовательность обратными действиями. В случае с производной $(1,\ 9,\ 6,\ 0,\ 0,\ 0\ ...)$, последующие элементы которой заполнены нулями, из неё можно восстановить последовательность, заданной функцией $3x^{2}-2$. Однако последовательность можно уменьшить до $(1,\ 9,\ 6)$, притом она не перестанет описывать функцию $3x^{2}-2$. Если же уменьшить её ещё сильнее, например, $(1,\ 9)$, то такая производная будет описывать последовательность, заданной другой функцией — $9x+1$, а значит минимальная длина производной последовательности в данном случае — 3. Для получения производной последовательности минимальной длины необходимо убрать все нули в конце производной, так как они не влияют на последовательность. Длина получившейся производной и будет считаться минимальной.

Связь производной и элементов последовательности

Связывается уравнение последовательности с его производной количеством сочетаний из $x-1$ по $k$, где $x$ – номер элемента последовательности ($x\in \mathbb {N}$):

$f(x)={\binom {x-1}{0}}\alpha _{1}+{\binom {x-1}{1}}\alpha _{2}+{\binom {x-1}{2}}\alpha _{3}+...+{\binom {x-1}{n-2}}\alpha _{n-1}+\alpha _{n}$.

Это выражение можно записать и в общей форме:

$f(x)=\sum _{k=1}^{x}{\binom {x-1}{k-1}}\alpha _{k}$.

С учётом того, что

${\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}$,

запишем общее уравнение:

$f(x)=\sum _{k=1}^{x}{\frac {(x-1)!}{(x-k)!(k-1)!}}\alpha _{k}$.

В данном случае формула суммы проходится по всей длине производной. Если она будет больше минимальной длины $m$, то в случаях, когда $k>m$ дробь обнуляется, т. к. производная $\alpha _{k}$ в таких случаях равна нулю. В таком случае имеет смысл ограничить количество итераций суммы до $m$. Также в формуле можно вынести за знак суммы $(x-1)!=const$:

$f(x)=(x-1)!\sum _{k=1}^{m}{\frac {\alpha _{k}}{(x-k)!(k-1)!}}$.

Общие производные последовательности, заданных многочленами

Общая формула

Для последовательности, заданной многочленом $f(x)$ при $x\in \mathbb {N}$, существует производная, $k$-й элемент которой обозначается $\alpha _{k}$. Для $\alpha _{k}$ верна следующая формула:

$\alpha _{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{k+i}\times {\frac {(k-1)!}{(k-i-1)!i!}}\times f(i)$.

Из этой формулы выводятся производные многочленов разных степеней.

Многочлены первой степени

Для последовательности, заданной многочленом первой степени ($ax+b$) производная последовательности имеет следующий вид:

$(f(1),\quad f(2)-f(1))$.

Поставляя значения в $f(x)=ax+b$, получим:

$(a+b,\quad a)$.

Многочлены второй степени

Для последовательности, заданной многочленом второй степени $(ax^{2}+bx+c)$ производная последовательности имеет следующий вид:

$(f(1),\quad f(2)-f(1),\quad f(1)-2f(2)+f(3))$.

Поставляя значения в $f(x)=ax^{2}+bx+c$, получим:

$(a+b+c,\quad 3a+b,\quad 2a)$.

Многочлены третьей степени

Для последовательности, заданной многочленом третьей степени $(ax^{3}+bx^{2}+cx+d)$ производная последовательности имеет следующий вид:

$(f(1),\quad f(2)-f(1),\quad f(1)-2f(2)+f(3),\quad f(4)-3f(3)+3f(2)-f(1))$.

Поставляя значения в $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$, получим:

$(a+b+c+d,\quad 7a+3b+c,\quad 12a+2b,\quad 6a)$.

Получение уравнения последовательности из производной

Для существующей производной $(1,\ 9,\ 6)$ в соответствии с уравнением запишем сумму дробей:

$f(x)=1\times {\frac {(x-1)!}{(x-1)!0!}}+9\times {\frac {(x-2)!}{(x-1)!1!}}+6\times {\frac {(x-3)!}{(x-2)!2!}}$.

Раскроем факториалы, а затем скобки:

Раскрытие факториалов

Если существует дробь вида ${\frac {a!}{b!}}$ при $a\geq b$, то её можно раскрыть с помощью формулы:

${\frac {a!}{b!}}=\prod _{i=b+1}^{a}i$.

При $a=b$ значение дроби равно единице.

Примером раскрытия может служить выражение:

${\frac {(x-1)!}{(x-2)!}}=\prod _{i=x-1}^{x-1}i=x-1$.

А также:

${\frac {(x-1)!}{(x-3)!}}=\prod _{i=x-2}^{x-1}i=(x-1)(x-2)$.

$f(x)=1+9(x-1)+3(x-1)(x-2)=1+3(x-1)(x+1)=3(x^{2}-1)+1=3x^{2}-2$.

Свойства уравнения последовательности

1. Степень многочлена, которым записывается уравнение последовательности, зависит от значения $m$, т. к. с ним растёт и число слагаемых, а значит и общее число множителей в слагаемых. Степень многочлена определима по формуле $n=m-1$, где $n$ — степень многочлена. При $m=1$ уравнение принимает постоянное значение, равное первому и единственному элементу производной. Таким образом, можно представить любой многочлен в виде значения уравнения, а значит у каждого многочлена есть производная.
2. Первым элементом любой производной любого многочлена является сумма всех его коэффициентов, включая свободный член.
3. Значение $(n+1)$-го элемента производной последовательности, заданной многочленом $n$-й степени, вычисляется минус разностью её $n$-го элемента и $n$-го элемента производной новой последовательности, образованной сдвигом старой на один элемент влево.

Сумма первых натуральных членов некоторой последовательности

Для последовательности, заданной многочленом $f(x)$, где $x$ — порядковый номер элемента последовательности ($x\in \mathbb {N}$), можно найти формулу, значение которой равно сумме первых $n$ членов этой последовательности. Пусть $P(x)=\textstyle \sum _{k=1}^{x}\displaystyle f(k)$, тогда разложим сумму на каждый одночлен многочлена $f(x)$. Пусть $f(x)=ax^{n}+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...$, тогда получим:

$P(x)=a\sum _{k=1}^{x}k^{n}+b\sum _{k=1}^{x}k^{n-1}+c\sum _{k=1}^{x}k^{n-2}+...$

Последовательность, заданная этой функцией называется последовательностью суммы. Таким образом, вся задача сводится к поиску элементарных сумм вида $\textstyle \sum _{k=1}^{x}k^{n}$ для $n\in [1,m-1]$, где $m$ — минимальная длина производной последовательности.

Получение производной последовательности суммы

Последовательность, заданная функцией $P(x)$, имеет производную, связанную с производной последовательности, заданной функцией $f(x)$. Для того чтобы её получить, необходимо просуммировать элементы производной со сдвигом:

     1  9  6
+ 1  9  6 
————————————
  1 10 15  6

Производная, полученная таким образом называется симметричной, а явление — симметричностью производной. Так, для получения формулы суммы первых $n$ членов последовательности, заданной функцией $3x^{2}-2$, необходимо восстановить новую формулу из производной $(1,10,15,6)$, в результате чего получится ${\frac {1}{2}}(2x^{3}+3x^{2}-3x)$. Формула подтверждается теоремой о лямбда-функции, утверждающей, что у формулы суммы отсутствует свободный член ($f(0)=0$).

Основные виды сумм

Сумма первых элементов ряда натуральных чисел

Т. к. ряд натуральных чисел имеет производную $(1,1)$, производная последовательности суммы этого ряда равна $(1,2,1)$. Можно вывести формулу суммы первых $x$ натуральных чисел:

$P(x)=1\times {\frac {(x-1)!}{(x-1)!0!}}+2\times {\frac {(x-1)!}{(x-2)!1!}}+1\times {\frac {(x-1)!}{(x-3)!2!}}$.

В результате преобразований функция примет вид:

$P(x)=1+2(x-1)+{\frac {1}{2}}(x-1)(x-2)={\frac {x^{2}+x}{2}}={\frac {x(x+1)}{2}}$.

Сумма первых элементов ряда натуральных квадратов

Т. к. ряд натуральных квадратов имеет производную $(1,3,2)$, производная последовательности суммы этого ряда равна $(1,4,5,2)$. Можно вывести формулу суммы первых $x$ натуральных квадратов:

$P(x)=1\times {\frac {(x-1)!}{(x-1)!0!}}+4\times {\frac {(x-1)!}{(x-2)!1!}}+5\times {\frac {(x-1)!}{(x-3)!2!}}+2\times {\frac {(x-1)!}{(x-4)!3!}}$.

В результате преобразований функция примет вид:

$P(x)=1+4(x-1)+{\frac {5}{2}}(x-1)(x-2)+{\frac {2}{6}}(x-1)(x-2)(x-3)={\frac {2x^{3}+3x^{2}+x}{6}}={\frac {x(x+1)(2x+1)}{6}}$.

Значение

Иллюстрация алгоритма предугадывания следующего числа

Кроме возможности находить функцию, которой был задан ряд чисел, уравнение последовательности с конечной производной позволит предугадывать следующее число в последовательности. На основе схемы последовательности можно построить искусственный интеллект.

Алгоритм заключается в том, что для нахождения следующего числа необходимо сложить последние элементы во всех строках разности и последний элемент самой последовательности. Получившееся число будет соответствовать уравнению в том случае, если верно определена минимальная длина производной. Лучше всего алгоритм использовать для бесконечных производных с произвольным изменением чисел.

См. также

• Теорема о лямбда-функции