Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов . Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона . Изучаются в средней школе в курсе алгебры .
Формулы для квадратов
править
(
a
±
b
)
2
=
a
2
±
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}
Разность квадратов
править
Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле[1]
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
Доказательство
править
Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
+
b
a
−
a
b
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}}
Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:
b
a
−
a
b
=
0
{\displaystyle ba-ab=0}
и остаётся
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.
Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце .
Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b , то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:
a
2
+
b
a
−
a
b
−
b
2
{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}}
Чтобы это было равно
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
b
a
−
a
b
=
0
{\displaystyle ba-ab=0}
для всех пар a , b , поэтому R коммутативно.
Формулы для кубов
править
(
a
±
b
)
3
=
a
3
±
3
a
2
b
+
3
a
b
2
±
b
3
{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
a
3
±
b
3
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
(
a
+
b
+
c
)
3
=
a
3
+
b
3
+
c
3
+
3
a
2
b
+
3
a
2
c
+
3
a
b
2
+
3
a
c
2
+
3
b
2
c
+
3
b
c
2
+
6
a
b
c
{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}
Формулы для четвёртой степени
править
(
a
±
b
)
4
=
a
4
±
4
a
3
b
+
6
a
2
b
2
±
4
a
b
3
+
b
4
{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
a
4
−
b
4
=
(
a
±
b
)
(
a
3
∓
a
2
b
+
a
b
2
∓
b
3
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a\pm b)(a^{3}\mp a^{2}b+ab^{2}\mp b^{3})}
a
4
−
b
4
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})}
a
4
+
b
4
=
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})}
Формулы для пятой степени
править
(
a
±
b
)
5
=
a
5
±
5
a
4
b
+
10
a
3
b
2
±
10
a
2
b
3
+
5
a
b
4
±
b
5
{\displaystyle (a\pm b)^{5}=a^{5}\pm 5a^{4}b+10a^{3}b^{2}\pm 10a^{2}b^{3}+5ab^{4}\pm b^{5}}
a
5
±
b
5
=
(
a
±
b
)
(
a
4
∓
a
3
b
+
a
2
b
2
∓
a
b
3
+
b
4
)
{\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=(a\pm b)(a^{4}\mp a^{3}b+a^{2}b^{2}\mp ab^{3}+b^{4})}
a
5
±
b
5
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
5
+
1
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
5
−
1
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{5}\pm b^{5}=\left(a\pm b\right)\left(a^{2}\mp {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}ab+b^{2}\right)}
Формулы для шестой степени
править
(
a
±
b
)
6
=
a
6
±
6
a
5
b
+
15
a
4
b
2
±
20
a
3
b
3
+
15
a
2
b
4
±
6
a
b
5
+
b
6
{\displaystyle (a\pm b)^{6}=a^{6}\pm 6a^{5}b+15a^{4}b^{2}\pm 20a^{3}b^{3}+15a^{2}b^{4}\pm 6ab^{5}+b^{6}}
a
6
−
b
6
=
(
a
±
b
)
(
a
5
∓
a
4
b
+
a
3
b
2
∓
a
2
b
3
+
a
b
4
∓
b
5
)
{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a\pm b)(a^{5}\mp a^{4}b+a^{3}b^{2}\mp a^{2}b^{3}+ab^{4}\mp b^{5})}
a
6
±
b
6
=
(
a
2
±
b
2
)
(
a
4
∓
a
2
b
2
+
b
4
)
{\displaystyle a^{6}\pm b^{6}=(a^{2}\pm b^{2})(a^{4}\mp a^{2}b^{2}+b^{4})}
a
6
−
b
6
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a+b)(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})}
a
6
+
b
6
=
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
+
3
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
3
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {3}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {3}}ab+b^{2})}
Формулы для седьмой степени
править
(
a
±
b
)
7
=
a
7
±
7
a
6
b
+
21
a
5
b
2
±
35
a
4
b
3
+
35
a
3
b
4
±
21
a
2
b
5
+
7
a
b
6
±
b
7
{\displaystyle (a\pm b)^{7}=a^{7}\pm 7a^{6}b+21a^{5}b^{2}\pm 35a^{4}b^{3}+35a^{3}b^{4}\pm 21a^{2}b^{5}+7ab^{6}\pm b^{7}}
a
7
±
b
7
=
(
a
±
b
)
(
a
6
∓
a
5
b
+
a
4
b
2
∓
a
3
b
3
+
a
2
b
4
∓
a
b
5
+
b
6
)
{\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{6}\mp a^{5}b+a^{4}b^{2}\mp a^{3}b^{3}+a^{2}b^{4}\mp ab^{5}+b^{6})}
a
7
±
b
7
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
(
2
cos
π
7
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
2
π
7
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
∓
(
2
cos
3
π
7
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{7}\pm b^{7}=(a\pm b)(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{7}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {3\pi }{7}})ab+b^{2})}
Формулы для восьмой степени
править
(
a
±
b
)
8
=
a
8
±
8
a
7
b
+
28
a
6
b
2
±
56
a
5
b
3
+
70
a
4
b
4
±
56
a
3
b
5
+
28
a
2
b
6
±
8
a
b
7
+
b
8
{\displaystyle (a\pm b)^{8}=a^{8}\pm 8a^{7}b+28a^{6}b^{2}\pm 56a^{5}b^{3}+70a^{4}b^{4}\pm 56a^{3}b^{5}+28a^{2}b^{6}\pm 8ab^{7}+b^{8}}
a
8
−
b
8
=
(
a
±
b
)
(
a
7
∓
a
6
b
+
a
5
b
2
∓
a
4
b
3
+
a
3
b
4
∓
a
2
b
5
+
a
b
6
∓
b
7
)
{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a\pm b)(a^{7}\mp a^{6}b+a^{5}b^{2}\mp a^{4}b^{3}+a^{3}b^{4}\mp a^{2}b^{5}+ab^{6}\mp b^{7})}
a
8
−
b
8
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{8}-b^{8}=(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})}
a
8
+
b
8
=
(
a
2
+
(
2
+
2
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
(
2
+
2
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
(
2
−
2
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
(
2
−
2
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{8}+b^{8}=(a^{2}+\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)ab+b^{2})}
Формулы для девятой степени
править
(
a
±
b
)
9
=
a
9
±
9
a
8
b
+
36
a
7
b
2
±
84
a
6
b
3
+
126
a
5
b
4
±
126
a
4
b
5
+
84
a
3
b
6
±
36
a
2
b
7
+
9
a
b
8
±
b
9
{\displaystyle (a\pm b)^{9}=a^{9}\pm 9a^{8}b+36a^{7}b^{2}\pm 84a^{6}b^{3}+126a^{5}b^{4}\pm 126a^{4}b^{5}+84a^{3}b^{6}\pm 36a^{2}b^{7}+9ab^{8}\pm b^{9}}
a
9
±
b
9
=
(
a
±
b
)
(
a
8
∓
a
7
b
+
a
6
b
2
∓
a
5
b
3
+
a
4
b
4
∓
a
3
b
5
+
a
2
b
6
∓
a
b
7
+
b
8
)
{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{8}\mp a^{7}b+a^{6}b^{2}\mp a^{5}b^{3}+a^{4}b^{4}\mp a^{3}b^{5}+a^{2}b^{6}\mp ab^{7}+b^{8})}
a
9
±
b
9
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
(
a
6
∓
a
3
b
3
+
b
6
)
{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})(a^{6}\mp a^{3}b^{3}+b^{6})}
a
9
±
b
9
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
a
b
+
b
2
)
(
a
2
∓
(
2
cos
π
9
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
2
π
9
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
4
π
9
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{9}\pm b^{9}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{9}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{9}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {4\pi }{9}})ab+b^{2})}
Формулы для десятой степени
править
(
a
±
b
)
10
=
a
10
±
10
a
9
b
+
45
a
8
b
2
±
120
a
7
b
3
+
210
a
6
b
4
±
252
a
5
b
5
+
210
a
4
b
6
±
120
a
3
b
7
+
45
a
2
b
8
±
10
a
b
9
+
b
10
{\displaystyle (a\pm b)^{10}=a^{10}\pm 10a^{9}b+45a^{8}b^{2}\pm 120a^{7}b^{3}+210a^{6}b^{4}\pm 252a^{5}b^{5}+210a^{4}b^{6}\pm 120a^{3}b^{7}+45a^{2}b^{8}\pm 10ab^{9}+b^{10}}
a
10
−
b
10
=
(
a
±
b
)
(
a
9
∓
a
8
b
+
a
7
b
2
∓
a
6
b
3
+
a
5
b
4
∓
a
4
b
5
+
a
3
b
6
∓
a
2
b
7
+
a
b
8
∓
b
9
)
{\displaystyle a^{10}-b^{10}=(a\pm b)(a^{9}\mp a^{8}b+a^{7}b^{2}\mp a^{6}b^{3}+a^{5}b^{4}\mp a^{4}b^{5}+a^{3}b^{6}\mp a^{2}b^{7}+ab^{8}\mp b^{9})}
a
10
±
b
10
=
(
a
2
±
b
2
)
(
a
8
∓
a
6
b
4
+
a
4
b
4
∓
a
2
b
6
+
b
8
)
{\displaystyle a^{10}\pm b^{10}=(a^{2}\pm b^{2})(a^{8}\mp a^{6}b^{4}+a^{4}b^{4}\mp a^{2}b^{6}+b^{8})}
a
10
−
b
10
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
5
+
1
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
5
+
1
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
5
−
1
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
5
−
1
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{10}-b^{10}=(a+b)(a-b)(a^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}ab+b^{2})}
a
10
+
b
10
=
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
+
10
+
2
5
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
10
+
2
5
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
10
−
2
5
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
10
−
2
5
2
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{10}+b^{10}=(a^{2}+b^{2})(a^{2}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{2}}ab+b^{2})}
Формулы для одиннадцатой степени
править
(
a
±
b
)
11
=
a
11
±
11
a
10
b
+
55
a
9
b
2
±
165
a
8
b
3
+
330
a
7
b
4
±
462
a
6
b
5
+
462
a
5
b
6
±
330
a
4
b
7
+
165
a
3
b
8
±
55
a
2
b
9
+
11
a
b
10
±
b
11
{\displaystyle (a\pm b)^{11}=a^{11}\pm 11a^{10}b+55a^{9}b^{2}\pm 165a^{8}b^{3}+330a^{7}b^{4}\pm 462a^{6}b^{5}+462a^{5}b^{6}\pm 330a^{4}b^{7}+165a^{3}b^{8}\pm 55a^{2}b^{9}+11ab^{10}\pm b^{11}}
a
11
±
b
11
=
(
a
±
b
)
(
a
10
∓
a
9
b
+
a
8
b
2
∓
a
7
b
3
+
a
6
b
4
∓
a
5
b
5
+
a
4
b
6
∓
a
3
b
7
+
a
2
b
8
∓
a
b
9
+
b
10
)
{\displaystyle a^{11}\pm b^{11}=(a\pm b)(a^{10}\mp a^{9}b+a^{8}b^{2}\mp a^{7}b^{3}+a^{6}b^{4}\mp a^{5}b^{5}+a^{4}b^{6}\mp a^{3}b^{7}+a^{2}b^{8}\mp ab^{9}+b^{10})}
a
11
±
b
11
=
(
a
±
b
)
(
a
2
∓
(
2
cos
π
11
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
2
π
11
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
∓
(
2
cos
3
π
11
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
±
(
2
cos
4
π
11
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
∓
(
2
cos
5
π
11
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{11}\pm b^{11}=(a\pm b)(a^{2}\mp (2\cos {\frac {\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {2\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {3\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\pm (2\cos {\frac {4\pi }{11}})ab+b^{2})(a^{2}\mp (2\cos {\frac {5\pi }{11}})ab+b^{2})}
Формулы для двенадцатой степени
править
(
a
±
b
)
12
=
a
12
±
12
a
11
b
+
66
a
10
b
2
±
220
a
9
b
3
+
495
a
8
b
4
±
792
a
7
b
5
+
924
a
6
b
6
±
792
a
5
b
7
+
495
a
4
b
8
±
220
a
3
b
9
+
66
a
2
b
10
±
12
a
b
11
+
b
12
{\displaystyle (a\pm b)^{12}=a^{12}\pm 12a^{11}b+66a^{10}b^{2}\pm 220a^{9}b^{3}+495a^{8}b^{4}\pm 792a^{7}b^{5}+924a^{6}b^{6}\pm 792a^{5}b^{7}+495a^{4}b^{8}\pm 220a^{3}b^{9}+66a^{2}b^{10}\pm 12ab^{11}+b^{12}}
a
12
−
b
12
=
(
a
±
b
)
(
a
11
∓
a
10
b
+
a
9
b
2
∓
a
8
b
3
+
a
7
b
4
∓
a
6
b
5
+
a
5
b
6
∓
a
4
b
7
+
a
3
b
8
∓
a
2
b
9
+
a
b
10
∓
b
11
)
{\displaystyle a^{12}-b^{12}=(a\pm b)(a^{11}\mp a^{10}b+a^{9}b^{2}\mp a^{8}b^{3}+a^{7}b^{4}\mp a^{6}b^{5}+a^{5}b^{6}\mp a^{4}b^{7}+a^{3}b^{8}\mp a^{2}b^{9}+ab^{10}\mp b^{11})}
a
12
±
b
12
=
(
a
4
±
b
4
)
(
a
8
∓
a
4
b
4
+
b
8
)
{\displaystyle a^{12}\pm b^{12}=(a^{4}\pm b^{4})(a^{8}\mp a^{4}b^{4}+b^{8})}
a
12
−
b
12
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
(
a
2
+
b
2
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
3
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
3
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{12}-b^{12}=(a+b)(a-b)(a^{2}+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {3}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {3}}ab+b^{2})}
a
12
+
b
12
=
(
a
2
+
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
2
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
(
2
+
3
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
(
2
+
3
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
+
(
2
−
3
)
a
b
+
b
2
)
(
a
2
−
(
2
−
3
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{12}+b^{12}=(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}+\left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})(a^{2}-\left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)ab+b^{2})}
Формулы для n -й степени
править
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
.
.
.
+
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
a
n
−
b
n
=
(
a
+
b
)
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
−
.
.
.
−
a
2
b
n
−
3
+
a
b
n
−
2
−
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}-b^{n-1})}
n
{\displaystyle n}
a
n
+
b
n
=
(
a
+
b
)
(
a
n
−
1
−
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
−
.
.
.
+
a
2
b
n
−
3
−
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-...+a^{2}b^{n-3}-ab^{n-2}+b^{n-1})}
n
{\displaystyle n}
составное число , то можно использовать формулы для одного из его составляющих множителей, например:
a
2
n
−
b
2
n
=
(
a
n
+
b
n
)
(
a
n
−
b
n
)
{\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
a
3
n
±
b
3
n
=
(
a
n
±
b
n
)
(
a
2
n
∓
a
n
b
n
+
b
2
n
)
{\displaystyle a^{3n}\pm b^{3n}=(a^{n}\pm b^{n})(a^{2n}\mp a^{n}b^{n}+b^{2n})}
и т. д.
действительными числами , то сумма или разность произвольных степеней вида
a
n
±
b
n
{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}}
(
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
может быть выражена в виде произведения нескольких многочленов , каждый из которых имеет степень не выше 2 и имеет вид либо
a
+
b
{\displaystyle a+b}
a
−
b
{\displaystyle a-b}
a
2
+
k
a
b
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+kab+b^{2}}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
a
n
−
b
n
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
∏
m
=
1
m
<
n
2
(
a
2
+
(
2
cos
2
m
π
n
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a+b)(a-b)\prod _{m=1}^{m<{\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {2m\pi }{n}})ab+b^{2})}
a
n
+
b
n
=
∏
m
=
1
m
≤
n
2
(
a
2
+
(
2
cos
(
2
m
−
1
)
π
n
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=\prod _{m=1}^{m\leq {\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {(2m-1)\pi }{n}})ab+b^{2})}
n
{\displaystyle n}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
∏
m
=
1
m
<
n
2
(
a
2
+
(
2
cos
(
2
m
−
1
)
π
n
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\prod _{m=1}^{m<{\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {(2m-1)\pi }{n}})ab+b^{2})}
a
n
+
b
n
=
(
a
+
b
)
∏
m
=
1
m
<
n
2
(
a
2
+
(
2
cos
2
m
π
n
)
a
b
+
b
2
)
{\displaystyle a^{n}+b^{n}=(a+b)\prod _{m=1}^{m<{\frac {n}{2}}}(a^{2}+(2\cos {\frac {2m\pi }{n}})ab+b^{2})}
комплексными числами , то то же самое может быть выражено в виде произведения нескольких многочленов степени 1 (см. ниже).
В комплексных числах
править
Некоторые свойства формул
править
(
a
−
b
)
2
n
=
(
b
−
a
)
2
n
{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
(
a
−
b
)
2
n
+
1
=
−
(
b
−
a
)
2
n
+
1
{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}
n
∈
N
{\displaystyle n\in N}
М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958. 
![{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\mp 1}}b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e4da5250e641a468b13f6ac979bcfee4dfe597)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mp 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03aa4fd3d4ca7fc06361f10bcf082f6f9976ba97)
![{\displaystyle a^{n}\pm b^{n}=\prod (a+{\sqrt[{n}]{\pm 1}}b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d1aef94695adad8259ef203dc8fb2e470173165)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\pm 1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59840e2723a85f62bb59759ca056ea1f2e3b722)
