Фильтр Лежандра

Фильтр Лежа́ндра — электронный фильтр, для расчёта коэффициентов которого используются многочлены Лежандра. Был предложен Атанасиосом Папулисом в 1958 году. Имеет крутой спад амплитудно-частотной характеристики, не обладает пульсациями характеристики. Является компромиссным решением между фильтром Баттерворта (имеющим монотонную характеристику) и Чебышёва (обладающим крутым спадом характеристики).

Сравнение амплитудно-частотных характеристик фильтров Баттерворта, Чебышёва и Лежандра с коэффициентом передачи в полосе пропускания равным 1. Частота нормирована к частоте среза.

Передаточная функция

Квадрат амплитудно-частотной характеристики для фильтра порядка $n$ выражается через полиномы Лежандра $L_{n}$:

$M_{n}^{2}(\omega )={\frac {1}{1+L_{n}(\omega ^{2})}},$

выбор порядка $n$ полинома $L_{n}$ производится согласно некоторому критерию качества фильтра, в частности монотонности передаточной характеристики в полосе пропускания и максимально быстрому спаду в полосе подавления. Эти ограничения выражаются:

$L_{n}(0)=0,$

$L_{n}(1)=1.$

Условие монотонности:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\geq 0.$

И условие максимальной крутизны в полосе подавления при $\omega \geq 1$:

$\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \omega }}L_{n}(\omega ^{2})\right|_{\omega =1}={\text{Maximum}}.$

См. также

• Линейный фильтр
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• БИХ-фильтр

Литература

• Kuo, Franklin F. Network Analysis and Synthesis. — Wiley, 1966. — ISBN 0471511188.

Ссылки

• Фильтр Лежандра (англ.)
• Сравнение линейных фильтров (англ.)