Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Формулировки

Словесная

1. 1 является натуральным числом;
2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
4. Если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$, так и за числом $c$, то $b$ и $c$ тождественны;
5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа $n$, вытекает, что оно верно для следующего за $n$ натурального числа (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.

   

   Исходя из аксиом Пеано, запрещено ветвление и замыкание графа натуральных чисел

Математическая

Математическая формулировка использует функцию следования $S(x)$, которая сопоставляет числу $x$ следующее за ним число.

1. $1\in \mathbb {N}$;
2. $x\in \mathbb {N} \Rightarrow S(x)\in \mathbb {N}$;
3. $\nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )}$;
4. ${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$;
5. $P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )}$.

Возможна и иная форма записи:

1. $1\in \mathbb {N}$;
2. $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \setminus \{1\}$;
3. $\exists S^{-1}$;
4. $1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \subset M$.

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ (база индукции) и для любого $n$ из верности $P(n)$ следует верность и $P(S(n))$ (индукционное предположение), то $P(n)$ верно для любых натуральных $n$.

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

1. $x+1=S(x)$;
2. $x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$;
3. $x\cdot 1=x$;
4. $x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}$.

Неполнота

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса — Харрингтона.

Категоричность

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см., а также краткое доказательство), что если $(\mathbb {N} ,1,S)$ и $({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})$ — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ такая, что $f(1)={\tilde {1}}$ и $f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))$ для всех $x\in \mathbb {N}$.

Поэтому достаточно зафиксировать в качестве $\mathbb {N}$ какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Например, из аксиомы индукции вытекает, что к любому натуральному числу можно перейти от $1$ за конечное число шагов (с помощью функции $S$). Для доказательства выберем в качестве предиката $P(n)$ само это утверждение «к числу $n$ можно перейти от $1$ за конечное число шагов с помощью функции $S$». Верно $P(1)$. Верно также ${\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}$, поскольку $S(n)$ может быть получено из $n$ при помощи одного применения операции $S$ к числу, которое по предположению $P(n)$ может быть получено из $1$ за конечное число применений $S$. Согласно аксиоме индукции $\forall n(P(n))$.

История

Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала $\epsilon _{0}.$ Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Литература

• Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
• Peano, G. Formulaire de mathematiques. Tome II — № 2. Bocca, Torino, 1897.
• Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938.