Формула Гаусса

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гаусова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

ФормулировкаПравить

Пусть   — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве  . Тогда

 

где

  •   — гауссова кривизна поверхности   в точке  ,
  •   — секционная кривизна пространства   в направлении  , касательном к поверхности   в точке  ,
  •  ,   — главные кривизны поверхности   в точке  

Обобщение на большие размерностиПравить

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия  . В этом случае тензор кривизны   подмногообразия   выражается через сужение тензора кривизны   пространства   на подпространство касательное к   и вторую квадратичную форму   подмногообразия   на касательном пространстве   со значениями в нормальном пространстве к  :

 [1]

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.

ЛитератураПравить

  • 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
  • 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.