Число Армстронга

Число Армстронга (также самовлюблённое число, совершенный цифровой инвариант; англ. pluperfect digital invariant, PPDI) — натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его цифр. Иногда, чтобы считать число таковым, достаточно, чтобы степени, в которые возводятся цифры, были равны m — тогда число можно назвать m-самовлюблённым.

Например, десятичное число 153 — число Армстронга, потому что

1³ + 5³ + 3³ = 153.

Формальное определение

Пусть $n=\sum _{i=1}^{k}d_{i}b^{i-1}$ — число, записываемое $d_{k}d_{k-1}...d_{1}$ в системе счисления с основанием $b$.

Если при некотором $m$ случится так, что $n=\sum _{i=1}^{k}{d_{i}}^{m}$, то $n$ является $m$-самовлюблённым числом. Если, сверх того, $m=k$, то $n$ можно назвать истинным числом Армстронга.

Очевидно, что при любом $m$ может существовать лишь конечное число $m$-самовлюблённых чисел, так как, начиная с некоторого $k$, $k\cdot 9^{k}<10^{k-1}-1$.

Упоминания в литературе

В «Апологии математика» Харди писал:

«Существуют только четыре числа (кроме 1), равных сумме кубов цифр, например,

153 = 1³ + 5³ + 3³, 370 = 3³ + 7³ + 0³,

371 = 3³ + 7³ + 1³, 407 = 4³ + 0³ + 7³.

Всё это забавные факты, весьма подходящие для газетных колонок с головоломками, способные позабавить любителей, но ничего в них не затронет сердце математика.»

Числа Армстронга в десятичной системе

В десятичной системе существует всего 88 чисел Армстронга. В промежутке 1 <= N <= 10 находятся следующие 32 N-значные числа Армстронга:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54 748, 92 727, 93 084, 548 834, 1 741 725, 4 210 818, 9 800 817, 9 926 315, 24 678 050, 24 678 051, 88 593 477, 146 511 208, 472 335 975, 534 494 836, 912 985 153, 4 679 307 774.

Самое большое число Армстронга содержит 39 цифр: 115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401.

Числа Армстронга в других системах счисления

• В троичной системе счисления: 1₃, 2₃, 12₃, 22₃, 122₃, …
• В четверичной системе счисления: 1₄, 2₄, 3₄, 130₄, 131₄, 203₄, 223₄, 313₄, 332₄, 1103₄, 3303₄, …

Похожие классы чисел

Иногда терминами «самовлюблённые числа» называют любой тип чисел, которые равны некоторому выражению от их собственных цифр. Например, таковыми могут быть: совершенные и дружественные числа, числа Брауна, числа Фридмана, счастливые билеты и тому подобные.

Литература

• Joseph S. Madachy. Mathematics on Vacation. — Thomas Nelson & Sons Ltd., 1966. — С. 163—175.
• Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения / Пер. с англ./Под ред. с предисл. и примеч. И. М. Яглома. — М.: Мир, 1986. — С. 26.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Narcissistic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)
• Narcissistic Numbers (англ.)
• Digital Invariants (англ.)