Открыть главное меню

Экспонента Артина — Хассе

В математике экспонентой Артина — Хассе, названной в честь Эмиля Артина и Хельмута Хассе, называется степенной ряд вида

МотивацияПравить

В отличие от обычной экспоненты, коэффициенты разложения в ряд экспоненты Артина — Хассе являются p-целыми, другими словами, их знаменатели не делятся на p. Это следует из леммы Дворка (Dwork), утверждающей, что степенной ряд f(x) = 1 + … с рациональными коэффициентами имеет p-целые коэффициенты тогда и только тогда, когда f(xp)/f(x)p ≡ 1 mod p.

Используя обращение Мёбиуса   можно переписать как бесконечное произведение

 

Здесь μ — функция Мёбиуса.

Комбинаторная интерпретацияПравить

Экспонента Артина — Хассе является производящей функцией вероятности того, что случайно выбранный элемент Sn (симметрическая группа с n элементами) имеет порядок степени p (это число обозначается как tn):

 

Заметим, что это даёт ещё одно доказательство p-целостности коэффициентов, поскольку в конечной группе с порядком, делящемся на d, количество элементов с порядком, делящим d также делится на d.

Давид Робертс (David Roberts) показал естественную комбинаторную связь между экспонентой Артина — Хассе и обычной экспонентой в свете эргодической теории, доказав, что экспонента Артина-Хассе является производящей функцией вероятности унипотентности элемента симметрической группы в характеристике p[источник не указан 2115 дней]. Обычная экспонента дает вероятность элемента быть унипотентным в той же группе в характеристике 0.

ГипотезыПравить

В курсе PROMYS 2002-го года, Кит Конрад (Keith Conrad) высказал гипотезу, что коэффициенты   равномерно распределены в p-адических числах относительно нормализованной меры Хаара, так как это соответствует проделанным им вычислениям. Эта гипотеза остаётся открытой.

Динеш Такур (Dinesh Thakur) поставил проблему — является ли экспонента Артина-Хассе трансцендентной над  .

Различные относительно простые свойства функции также не определены, включая вопрос, выполняется ли верное для обычной экспоненты функциональное равенство  .

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • Alain M. Robert. A course in p-adic analysis. — New York, Berlin, Heidelberg: Springer, 2000. — Т. 198. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98669-3.
  • Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. — Москва: Мир, 1982.
  • Dinesh S. Thakur. Automata Methods in Transcendence.
  • Ivan B. Fesenko, Sergei V. Vostokov. Local fields and their extensions // Second. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2002. — Т. 121. — ISBN 978-0-8218-3259-2.