Энергия Уиллмора

Энергия Уиллмора является численной мерой, отражающей отклонение заданной поверхности от круглой сферы. Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, вложенной в трёхмерное евклидово пространство, определяется как интеграл от квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна. Термин назван именем английского геометра Томаса Уиллмора.

«Поверхность Уиллмора», скульптура в Даремском университете в память Томасу Уиллмору

Определение

В символическом выражении энергия Уиллмора поверхности S равна

${\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-\int _{S}K\,dA$,

где $H$ является средней кривизной, $K$ является гауссовой кривизной, а dA является площадью поверхности S. Для замкнутой поверхности, по формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны может быть вычислен в терминах эйлеровой характеристики $\chi (S)$ поверхности

$\int _{S}K\,dA=2\pi \chi (S),$

который является топологическим инвариантом, а потому не зависит от конкретного вложения в $\mathbb {R} ^{3}$. Тогда энергия Уиллмора может выражена как

${\mathcal {W}}=\int _{S}H^{2}\,dA-2\pi \chi (S)$

Альтернативной, но эквивалентной формулой является

${\mathcal {W}}={1 \over 4}\int _{S}(k_{1}-k_{2})^{2}\,dA$

где $k_{1}$ и $k_{2}$ являются главными кривизнами поверхности.

Свойства

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений в заданное пространство в смысле вариационного исчисления и можно менять вложение поверхности, оставляя её топологически неизменной.

Критические точки

Основной проблемой в вариационном исчислении является поиск критических точек и минимум функционала.

Для заданного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

$\int _{S}H^{2}\,dA$

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

Можно найти минимум (локальный) для энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска, который в этом контексте называется потоком Уиллмора.

Для сферы, вложенной в 3-мерное пространство, критические точки классифицировал Брайант — они все являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей, круглая сфера является минимумом, а все другие критические значения являются целыми числами, большими или равными 4$\pi$. Они называются поверхностями Уиллмора.

Поток Уиллмора

Поток Уиллмора является геометрическим потоком, соответствующий энергии Уиллмора. Она является $L^{2}$-градиентным потоком.

$e[{\mathcal {M}}]={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {M}}H^{2}\,\mathrm {d} A$

где H означает среднюю кривизну многообразия ${\mathcal {M}}$.

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

$\partial _{t}x(t)=-\nabla {\mathcal {W}}[x(t)]\,$

где $x$ лежит на поверхности.

Этот поток приводит к эволюционной задаче в дифференциальной геометрии — поверхность ${\mathcal {M}}$ эволюционирует во времени, следуя наиболее крутому уменьшению энергии. Подобно поверхностной диффузии поток является потоком четвёртого порядка, поскольку вариация энергии содержит четвёртую производную.

Приложения

• Клеточные мембраны стремятся к положению с минимальной энергией Уиллмора.
• Энергия Уиллмора используется для построения класса оптимальных выворачиваний сфер, минимаксных выворачиваний.

См. также

• Гипотеза Уиллмора