Пусть
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
−
π
,
π
]
{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
2
π
{\displaystyle 2\pi }
∀
x
∈
R
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} }
S
n
(
f
;
x
)
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
+
u
)
sin
(
n
+
1
2
)
u
2
sin
u
2
d
u
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
+
u
)
D
n
(
u
)
d
u
{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u)D_{n}(u)du}
Эта формула является одной из важнейших в теории рядов Фурье.
Рассмотрим n-ную частичную сумму ряда Фурье.
S
n
(
f
;
x
)
=
a
0
2
+
∑
k
=
1
n
(
a
k
cos
(
k
x
)
+
b
k
sin
(
k
x
)
)
(
1
)
{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))\qquad (1)}
S
n
(
f
;
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
d
t
+
∑
k
=
1
n
[
(
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
cos
(
k
t
)
d
t
)
cos
(
k
x
)
+
(
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
sin
(
k
t
)
d
t
)
sin
(
k
x
)
]
(
2
)
{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)dt+\sum _{k=1}^{n}\left[\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx)+\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)}
S
n
(
f
;
x
)
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
[
1
2
+
∑
k
=
1
n
(
cos
(
k
t
)
cos
(
k
x
)
+
sin
(
k
t
)
sin
(
k
x
)
)
]
d
t
(
3
)
{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad (3)}
Применяя формулу косинуса разности к выражению, стоящему под знаком суммы, получим:
S
n
(
f
;
x
)
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
[
1
2
+
∑
k
=
1
n
(
cos
(
k
(
t
−
x
)
)
]
d
t
(
4
)
{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad (4)}
Рассмотрим сумму косинусов:
1
2
+
cos
α
+
cos
(
2
α
)
+
.
.
.
+
cos
(
n
α
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )}
Умножим каждое слагаемое на
2
sin
(
α
2
)
{\displaystyle 2\sin({\frac {\alpha }{2}})}
2
sin
α
cos
β
=
sin
(
α
+
β
)
+
sin
(
α
−
β
)
{\displaystyle 2\sin \alpha \cos \beta =\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}
2
sin
(
α
2
)
(
1
2
+
cos
α
+
cos
(
2
α
)
+
.
.
.
+
cos
(
n
α
)
)
=
sin
α
2
−
sin
α
2
+
sin
3
α
2
−
sin
3
α
2
+
.
.
.
+
sin
(
n
+
1
2
)
α
=
sin
(
n
+
1
2
)
α
{\displaystyle 2\sin({\frac {\alpha }{2}})\left({\frac {1}{2}}+\cos \alpha +\cos(2\alpha )+...+\cos(n\alpha )\right)=\sin {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {3\alpha }{2}}-\sin {\frac {3\alpha }{2}}+...+\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha =\sin(n+{\frac {1}{2}})\alpha }
Применяя это преобразование к формуле (4), получим:
S
n
(
f
;
x
)
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
t
)
sin
(
n
+
1
2
)
(
t
−
x
)
2
sin
t
−
x
2
d
t
(
5
)
{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})(t-x)}{2\sin {\frac {t-x}{2}}}}dt\qquad (5)}
Сделаем замену переменного
u
=
t
−
x
{\displaystyle u=t-x}
S
n
(
f
;
x
)
=
1
π
∫
−
π
−
x
π
−
x
f
(
x
+
u
)
sin
(
n
+
1
2
)
u
2
sin
u
2
d
u
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
+
u
)
sin
(
n
+
1
2
)
u
2
sin
u
2
d
u
(
6
)
{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi -x}^{\pi -x}f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x+u){\frac {\sin(n+{\frac {1}{2}})u}{2\sin {\frac {u}{2}}}}du\qquad (6)}
![{\displaystyle L_{2}[-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144b945ec1382ee25b8cf044d652623714787eb6)
![{\displaystyle [-\pi ,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb064fd6c55820cfa660eabeeda0f6e3c4935ae6)
![{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)dt+\sum _{k=1}^{n}\left[\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)dt\right)\cos(kx)+\left({\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)dt\right)\sin(kx)\right]\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf3c11ab149f77ec0992c99090888edcbb6cbaf)
![{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(kt)\cos(kx)+\sin(kt)\sin(kx)\right)\right]dt\qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4432b3d267ad95c1389b88e156a4a01e13d0f84e)
![{\displaystyle S_{n}(f;x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(t)\left[{\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\left(\cos(k(t-x)\right)\right]dt\qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ff51700ab1311346dbdb2b7b9349ce9c19a07f)
