Ячейки Бенара

Ячейки Бенара или Рэлея — Бенара — возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.

Ячейками Бенара можно объяснить происхождение вулканических образований в форме пучка вертикальных колонн — такими являются памятники природы «Девилс-Тауэр» (США) и «Мостовая гигантов» (Северная Ирландия).

Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестерёнки)^[1]. При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационной диаграмме или дереве Фейгенбаума.

В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки^[2]. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони, возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.

Аналитическое решение задачи (задача Рэлея) править

Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи её в приближении Буссинеска возможно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простое точное решение удаётся найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформируемыми границами слоя (как сверху, так и снизу), более реалистичные варианты таких решений не имеют (но для них хорошо работают приближённые аналитические методы, например метод Галёркина).

Приведём здесь решение задачи^[3]^[4]. Примем, что ось z направлена вверх, перпендикулярно слою, оси x и y параллельны границе. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta T{\vec {g}},$

${\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0.$

Безразмерная форма уравнений конвекции для малых возмущений равновесия, в предположении экспоненциального роста возмущений во времени (т. н. «Нормальные» возмущения) — ${\vec {v}},\theta \sim e^{\lambda t}$ :

${\frac {\lambda }{Pr}}{\vec {v}}=-\nabla p+\Delta {\vec {v}}+Ra\theta {\vec {e}}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{z},$

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0,$

где ${\vec {e}}_{z}$ — единичный вектор оси z, $Pr,Ra$ — соответственно число Прандтля и число Рэлея, $\lambda$ — инкремент (скорость роста) возмущений. После обезразмеривания переменная z изменяется от 0 до 1. Т. н. «Нормальные» возмущения являются частными решениями линейной системы дифференциальных уравнений, и поэтому находят широкое применение при исследовании задач в самых различных областях.

Постановка граничных условий производится в предположении, что обе границы недеформируемые, но свободные — при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:

${\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{z}=0$ , — недеформируемость границ.

$\sigma _{xz}=\sigma _{yz}=0$ , — отсутствие касательных напряжений. Так как считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнение Навье — Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.

$\sigma _{ij}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$ — закон Навье,

Принимая обозначения для компонент скорости: ${\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}$ , перепишем граничное условие для касательных напряжений в терминах скорости:

${\frac {\partial u}{\partial z}}=0,$

${\frac {\partial v}{\partial z}}=0$ .

Для возмущений температуры на границе принимается нулевое значение. В итоге, система граничных условий задачи такова:

$z=0,1:$

$w=0;{\frac {\partial u}{\partial z}}={\frac {\partial v}{\partial z}}=0;\theta =0$

Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству — ${\vec {v}},p,\theta \sim e^{\lambda t}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}$ (здесь ${\vec {k}}$ — волновой вектор возмущения, параллельный плоскости $xy$ ) и заменяя операторы дифференцирования — $\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-k^{2},\nabla =\left\{i{\vec {k}};{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}$ , можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы ОДУ:

${\frac {\lambda }{Pr}}{\vec {v}}=-\nabla p+\Delta {\vec {v}}+Ra\theta {\vec {e}}_{z},$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w,$

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0.$

Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:

${\frac {\lambda }{Pr}}\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta ,$

$\lambda \theta =\Delta \theta +w.$

Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе чётного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:

$w=a\sin n\pi z,$

$\theta =b\sin n\pi z,$

где n — целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.

Типичная нейтральная кривая для задачи конвекции в плоском слое

Далее, обозначая $D=n^{2}\pi ^{2}+k^{2}$ , и подставляя предполагаемый вид решения в уравнения, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. Из её определителя можно выразить зависимость $Ra(\lambda )$ :

$Ra(\lambda )={\frac {1}{Prk^{2}}}\left(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\right)$

Полагая здесь $\lambda =0$ — граница монотонной устойчивости, невозрастание нормальных возмущений — получим формулу для определения критического числа Рэлея n-ой моды возмущений:

$Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.$

Наименьшее число Рэлея получится при $n=1$ . Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на $k={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}$ , а само минимальное число Рэлея равно $Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\approx 657$ . В соответствии с критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины ${\sqrt {2}}$ (в безразмерных единицах).

Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. К примеру, для слоя с двумя твёрдыми границами оно равно 1708^[5], для слоя с твёрдой верхней и свободной нижней границами — 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не изменяется.

См. также править

Примечания править

↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140
↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 85, рис. 140—141
↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5
↑ Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37
↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6

Литература править

L.E.Scriven & C.V.Sternling «Эффекты Марангони»

Ссылки править

[1] Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140

[2] Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 85, рис. 140—141

[3] Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5

[4] Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37

[5] Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]