UMAP

Uniform Manifold Approximation and Projection (UMAP) — алгоритм машинного обучения, выполняющий нелинейное снижение размерности.

История создания и описание

UMAP был создан Лилендом Макиннесом совместно с его коллегами из Таттского института. Целью было получить алгоритм, похожий на t-SNE, но с более сильным математическим обоснованием.

При снижении размерности UMAP сначала выполняет построение взвешенного графа, соединяя ребрами только те объекты, которые являются ближайшими соседями. Множество из ребер графа — это нечёткое множество с функцией принадлежности, она определяется как вероятность существования ребра между двумя вершинами. Затем алгоритм создает граф в низкоразмерном пространстве и приближает его к исходному, минимизируя сумму дивергенций Кульбака-Лейблера для каждого ребра из множеств.

Алгоритм UMAP используется в различных областях науки: биоинформатика, материаловедение, машинное обучение.

Принцип работы алгоритма

На обработку алгоритму поступает выборка из $n$ объектов: $X=\{x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}\}$. UMAP рассчитывает расстояние между объектами по заданной метрике и для каждого объекта $x_{i}$ определяет список из его $k$ ближайших соседей: $T=\{t_{1},\;\ldots ,\;t_{k}\}$.

Помимо этого, для каждого объекта рассчитывается расстояние до его ближайшего соседа: $\rho _{i}=\min _{t\,\in \,T}d(x_{i},t)$. А также величина $\sigma _{i}$, заданная уравнением:

$\sum _{t\,\in \,T}\exp \left(-{\frac {d(x_{i},t)-\rho _{i}}{\sigma _{i}}}\right)=\log _{2}k$.

Далее алгоритм выполняет построение взвешенного ориентированного графа, в котором ребра соединяют каждый объект с его соседями. Вес ребра от $x_{i}$ объекта до его $t_{j}$ соседа рассчитывается следующим образом:

$w(x_{i}\rightarrow t_{j})=\exp \left(-{\frac {d(x_{i},t_{j})-\rho _{i}}{\sigma _{i}}}\right)$

Полученная ранее $\sigma _{i}$ нормирует сумму весов для каждого объекта к заданному числу $\log _{2}k$.

Так как UMAP строит взвешенный ориентированный граф, то между вершинами могут существовать два ребра с разными весами. Вес ребра интерпретируется как вероятность существования данного ребра от одного объекта к другому. Исходя из этого, ребра между двумя вершинами объединяются в одно с весом, равным вероятности существования хотя бы одного ребра:

$w(x_{i},x_{j})=w(x_{i}\rightarrow x_{j})+w(x_{j}\rightarrow x_{i})-w(x_{i}\rightarrow x_{j})\cdot w(x_{j}\rightarrow x_{i})$.

Таким образом, алгоритм получает взвешенный неориентированный граф.

Множество ребер $E$ такого графа является нечетким множеством из случайных величин Бернулли. Алгоритм создает новый граф в низкоразмерном пространстве и приближает множество его ребер к исходному. Для этого он минимизирует сумму дивергенций Кульбака-Лейблера для каждого ребра $e$ из исходного и нового нечетких множеств:

$\sum _{e\in E}w_{h}(e)\log {\frac {w_{h}(e)}{w_{l}(e)}}+(1-w_{h}(e))\log \left({\frac {1-w_{h}(e)}{1-w_{l}(e)}}\right)\rightarrow \min _{w_{l}}$,

$w_{h}(e)$ — функция принадлежности нечеткого множества из ребёр в высокоразмерном пространстве,

$w_{l}(e)$ — функция принадлежности нечеткого множества из ребёр в низкоразмерном пространстве.

UMAP решает задачу минимизации с помощью стохастического градиентного спуска. Полученное множество из ребер определяет новое расположение объектов и, соответственно, низкоразмерное отображение исходного пространства.

Программное обеспечение

• Руководство по установке библиотеки
• Применение в языке R

Литература

• Duoduo Wu, Joe Yeong Poh Sheng, Grace Tan Su-En, Marion Chevrier, Josh Loh Jie Hua, Tony Lim Kiat Hon, Jinmiao Chen. Comparison Between UMAP and t-SNE for Multiplex-Immunofluorescence Derived Single-Cell Data from Tissue Sections (англ.) // bioRxiv. — 2019. — 15 February. — doi:10.1101/549659.
• Etienne Becht, Charles-Antoine Dutertre, Immanuel W.H. Kwok, Lai Guan Ng, Florent Ginhoux, Evan W. Newell. Evaluation of UMAP as an alternative to t-SNE for single-cell data (англ.) // bioRxiv. — 2018. — 28 June. — doi:10.1101/298430.
• Leland McInnes, John Healy, James Melville. UMAP: Uniform Manifold Approximation and Projection for Dimension Reduction (англ.) // arXiv. — 2018. — 7 December.

Ссылки

• Авторская презентация алгоритма
• Авторский туториал и преимущества UMAP
• Примеры работ в UMAP: 1 и 2
• Обзор алгоритма
• Принцип работы алгоритма и примеры