Открыть главное меню

Нечёткое множество (иногда размытое[1], расплывчатое[2], туманное[3], пушистое[4]) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control[en], в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале , а не только значения или . Является базовым понятием нечёткой логики.

Содержание

ОпределениеПравить

Под нечётким множеством   понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов   универсального множества   и соответствующих степеней принадлежности  :

 ,

причём   — функция принадлежности (обобщение понятия характеристическая функция обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент   принадлежит нечёткому множеству  . Функция   принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве  . Множество   называют множеством принадлежностей, часто в качестве   выбирается отрезок  . Если   (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определенияПравить

Пусть   нечёткое множество с элементами из универсального множества   и множеством принадлежностей  . Тогда:

  • носителем (суппортом) нечёткого множества   называется множество  ;
  • величина   называется высотой нечёткого множества  . Нечёткое множество   нормально, если его высота равна  . Если высота строго меньше  , нечёткое множество называется субнормальным;
  • нечёткое множество пусто, если  . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле
     ;
  • нечёткое множество унимодально, если   только на одном   из  ;
  • элементы  , для которых  , называются точками перехода нечёткого множества  .

Сравнение нечётких множествПравить

Пусть   и   нечёткие множества, заданные на универсальном множестве  .

  •   содержится в  , если для любого элемента из   функция его принадлежности множеству   будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству  :
     .
  • В случае, если условие   выполняется не для всех  , говорят о степени включения нечёткого множества   в  , которое определяется так:
     , где  .
  • Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:
     .
  • В случае, если значения функций принадлежности   и   почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств   и  , например, в виде
     , где  .

Свойства нечётких множествПравить

 -срезом нечёткого множества  , обозначаемым как  , называется следующее чёткое множество:

 ,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

 

Для  -среза нечёткого множества истинна импликация:

 .

Нечёткое множество   является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

 

для любых   и  .

Нечёткое множество   является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

 

для любых   и  .

Операции над нечёткими множествамиПравить

При множестве принадлежностей  

  • Пересечением нечётких множеств   и   называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности   и  :
     .
  • Произведением нечётких множеств   и   называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
     .
  • Объединением нечётких множеств   и   называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимом функций принадлежности   и  :
     .
  • Суммой нечётких множеств   и   называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:
     .
  • Отрицанием множества   называется множество   с функцией принадлежности:
      для каждого  .

Альтернативное представление операций над нечёткими множествамиПравить

ПересечениеПравить

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

 ,

где функция   — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  , для  

ОбъединениеПравить

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

 ,

где функция   — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  , для  

Связь с теорией вероятностейПравить

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности   можно рассматривать как вероятность накрытия элемента   некоторым случайным множеством  .

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

ПримерыПравить

Пусть:

  • множество  
  • множество принадлежностей  
  •   и   — два нечётких подмножества  
    •  
    •  

Результаты основных операций:

  • пересечение:  
  • объединение:  

ПримечанияПравить

  1. Bulletin of the Academy of Sciences of the Georgian SSR. — Академия, 1974. — С. 157. — 786 с.
  2. A. M. Shirokov. Основы теории комплектования. — Наука и техника, 1987. — С. 66. — 198 с.
  3. Козлова Наталья Николаевна. Цветовая картина мира в языке // Ученые записки Забайкальского государственного университета. Серия: Филология, история, востоковедение. — 2010. — Вып. 3. — ISSN 2308-8753.
  4. Химия и жизнь, XXI век. — Компания "Химия и жизнь", 2008. — С. 37. — 472 с.

ЛитератураПравить

  • Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — 166 с.
  • Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. — М.: Радио и связь, 1982. — 432 с.
  • Нечеткие множества и теория возможностей: Последние достижения / Р. Р. Ягер. — М.: Радио и связь, 1986.
  • Zadeh L. A. Fuzzy sets // Information and Control. — 1965. — Т. 8, № 3. — P. 338—353.
  • Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. — М.: Наука, 1981. — 208 с. — 7600 экз.