Аналитичность голоморфных функций

В комплексном анализе функция $f$ комплексной переменной называется

• голоморфной в точке $a$, если она дифференцируема в некоторой открытой окрестности
• аналитической в точке ${\textstyle a}$, если существует некоторая окрестность точки $a$, в которой $f$ совпадает со сходящимся степенным рядом

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

Одним из самых важных результатов комплексного анализа является теорема о том, что голоморфные функции являются аналитическими. Следствия этой теоремы включают, среди прочих, следующие результаты:

• теорема единственности: две голоморфные функции, значения которых совпадают в каждой точке множества $S$ (у которого имеется предельная точка внутри пересечения областей определения функций), также совпадают в любом открытом связном подмножестве их областей определения, которое содержит $S$.
• так как степенной ряд бесконечно дифференцируем, соответствующая ему голоморфная функция тоже является бесконечно дифференцируемой (в отличие от случая дифференцируемой действительной функции).
• радиус сходимости всегда совпадает с расстоянием от центра а до ближайшей сингулярной точки. Если таковых не имеется (т. е. если $f$ – целая функция), то радиус сходимости равен бесконечности.
• целая голоморфная функция не может быть финитной, т.е. не может иметь в качестве (компактного) носителя связное открытое подмножество комплексной плоскости.

Доказательство

Доказательство, впервые предложенное Коши, основано на интегральной формуле Коши и на разложении в степенной ряд выражения

${\dfrac {1}{w-z}}$

Пусть $D$ обозначает открытый диск с центром в точке $a$. Предположим, что $f$ является дифференцируемой всюду в открытой окрестности замыкания $D$. Пусть $C$ обозначает положительно ориентированную окружность, которая является границей $D$, a $z$ – точку в $D$. Начиная с интегральной формулы Коши, можно записать

${\begin{aligned}f(z)&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over w-z}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)-(z-a)}\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {1 \over 1-{z-a \over w-a}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{1 \over w-a}\cdot {\sum _{n=0}^{\infty }\left({z-a \over w-a}\right)^{n}}f(w)\,\mathrm {d} w\\[10pt]&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2\pi i}\int _{C}{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\,\mathrm {d} w.\end{aligned}}$

Перестановка операций интегрирования и бесконечной суммы справедлива, так как выражение ограничено некой положительной константой $M$ для любых $w$ на $C$, в то время как неравенство

$\left|{\frac {z-a}{w-a}}\right|\leq r<1$

также справедливо на $C$ при некотором положительном $r$. Таким образом,

$\left|{(z-a)^{n} \over (w-a)^{n+1}}f(w)\right|\leq Mr^{n}$

на $C$. Ряд сходится равномерно на $C$ по признаку сходимости Вейерштрасса, а значит знаки суммы и интеграла могут быть переставлены.

Так как выражение $(z-a)^{n}$ не зависит от переменной, его можно вынести за знак интеграла:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(z-a)^{n}{1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w$.

Таким образом, разложение функции $f$ приобретает искомую форму степенного ряда от $z$:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$

с коэффициентами

$c_{n}={1 \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,\mathrm {d} w.$

Примечания

• Так как степенные ряды можно дифференцировать почленно, приведенные выше рассуждения можно применить в обратном направлении к разложению в ряд выражения

${\frac {1}{(w-z)^{n+1}}}$,

получив, таким образом,

$f^{(n)}(a)={n! \over 2\pi i}\int _{C}{f(w) \over (w-a)^{n+1}}\,dw.$

Это интегральная формула Коши для производных. Таким образом, приведенный выше степенной ряд является рядом Тейлора функции $f$.

• Доказательство справедливо только если точка $z$ находится ближе к центру $a$ диска $D$, чем к любой сингулярной точке $f$. Следовательно, радиус сходимости ряда Тейлора не может быть меньше, чем расстояние от $a$ до ближайшей особой точки функции. (Очевидно, что радиус также не может быть больше этого расстояния, поскольку степенной ряд не имеет особых точек в пределах их радиусов сходимости.)
• Особый случай тож теоремы из предыдущего замечания вытекает особый случай теоремы о единственности голоморфной функции. Если две голоморфные функции совпадают на (возможно, очень небольшой) открытой окрестности $U$ точки $a$, то они совпадают и на открытом диске $B_{d}(a)$, где $d$  – расстояние от $a$ до ближайшей особой точки.