Открыть главное меню

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда приближает (аппроксимирует) функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть функции   удовлетворяют свойству:   для некоторой предельной точки   области определения функции f(x). Последовательность функций  , удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд:  , для которого выполняются условия : 

или эквивалентно:

 

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

 

Отличие сходящегося ряда и асимптотического разложения для функции   можно проиллюстрировать так: для сходящегося ряда при любом фиксированном   ряд сходится в значение   при  , тогда как при асимптотическом разложении при фиксированном   ряд сходится в значение   в пределе   (  может быть и бесконечным).

Асимптотическое разложение ЭрдейиПравить

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд   называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность  , что

 

Этот факт записывается в следующем виде:

 

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто мало полезна для числовых вычислений и редко используется.

ПримерыПравить

 
 
 
где   — числа Бернулли и  . Это разложение справедливо для всех комплексных s.
 
  • Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит[1]:
 

ПримечанияПравить

  1. Roderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13

ЛитератураПравить

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
  • Эрдейи А. Асимптотические разложения / Пер. с англ. — М., 1962
  • Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975