Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты, служат следующие формулы:
Биполярная система координат
Окружности Аполлония
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {a\,\mathrm {sh} \,\tau }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\\y={\frac {a\sin \sigma }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9b37d7796e63b9d94b293467d99994cafce6977)
где
,
.
Коэффициенты Ламе:
![{\displaystyle L_{\tau }=L_{\sigma }={\frac {a^{2}}{(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce25febc8ec4d9c940f3572541748ab072ad7ca)
Оператор Лапласа в биполярных координатах:
![{\displaystyle \Delta f={\frac {(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e02ac2138ad0c656f1b94ac6fc08881404c069)
В пространстве биполярные координаты обобщаются бисферическими.