Вполне ограниченное множество

Множество называется вполне ограниченным, если для любого положительного ε существует конечная ε-сеть для этого множества.

ЗамечанияПравить

  • Понятия вполне ограниченности и ограниченности совпадают в случае конечномерных евклидовых пространств  . Действительно, достаточно взять минимальный куб, содержащий данное ограниченное множество, со стороной  . Затем — разбить его на  кубиков со сторонами  . Вершины кубов дают конечную ε-сеть, нужный ε достигается увеличением  .
  • Если на конечномерном пространстве   вводить новые метрики, то ограниченные множества могут перестать быть вполне ограниченными. Такой результат, например, дает метрика   или дискретная метрика.
  • В бесконечномерном пространстве  ограниченность также не тождественна вполне ограниченности. В единичном шаре потребуется бесконечное количество шаров радиуса ε<1, чтобы покрыть точки вида  ,  .
  • В полном метрическом пространстве вполне ограниченность влечет за собой предкомпактность. Это свойство требуется при доказательстве теоремы Арцела-Асколи.
  • Иногда термин «вполне ограниченность» (англ. totally bounded) путают с термином «полная ограниченность» (англ. completely bounded). Последний имеет отношение к линейным операторам из квантового функционального анализа.

ЛитератураПравить

  1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 106 с.