Открыть главное меню

Гипергеометрическая функция

(перенаправлено с «Гипергеометрический ряд»)

Гипергеометрическая функция (функция Гаусса) определяется внутри круга как сумма гипергеометрического ряда

а при  — как её аналитическое продолжение. Она является решением линейного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка, называемого гипергеометрическим уравнением.

ИсторияПравить

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Валлисом в 1655 году в книге Arithmetica Infinitorum. Термин этот относился к ряду, общая формула членов которого имеет вид[1]

 

Гипергеометрические ряды изучались Леонардом Эйлером, и более подробно Гауссом[2]. В XIX веке изучение было продолжено Эрнстом Куммером, а Бернхард Риман определил гипергеометрическую функцию через уравнение, которому она удовлетворяет.

Гипергеометрическое уравнениеПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение Эйлера   где параметры a, b и c могут быть произвольными комплексными числами. Его обобщение на произвольные регулярные сингулярные точки даётся дифференциальным уравнением Римана. Уравнение Эйлера имеет три особые точки: 0, 1 и  .

Когда параметр   не равен нулю и отрицательным целым числам   регулярное в нуле решение уравнения Эйлера будет можно записать через ряд, называемый гипергеометрическим:

 

Эту функцию называют гипергеометрической. Часто применяют обозначение (символ Похгаммера)

 

где   — гамма-функция. Тогда гипергеометрическую функцию можно представить в виде

 

Обозначение   указывают, что есть два параметра, a и b, «идущие в числитель», и один, c, «идущий в знаменатель». На границе   ряд, через который определяется гипергеометрическая функция, абсолютно сходится, если действительная часть суммы  , условно сходится при  ,   и расходится, если  . Второе линейно независимое решение дифференциального уравнения Эйлера имеет вид

 

Оно имеет особую точку при   и справедливо при всех неположительных    .[3]

Интегральное представление для гипергеометрической функции при   (формула Эйлера) может быть записано следующим образом:

 

где   — гамма-функция Эйлера. Это выражение представляет собой однозначную аналитическую функцию на комплексной  -плоскости с разрезом вдоль действительной оси от   до   и обеспечивает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость для гипергеометрического ряда, сходящегося лишь при  .

Частные значения при Править

Вторая теорема суммации Гаусса выражается формулой:

 

Теорема Бейли выражается формулой:

 

Запись других функций через гипергеометрическуюПравить

Важным свойством гипергеометрической функции является то, что многие специальные и элементарные функции могут быть получены из неё при определённых значениях параметров и преобразовании независимого аргумента.

ПримерыПравить

  •  
  •  
  •  
 
  •  
  •  
  •  
  • Полный эллиптический интеграл первого рода:
     
  • Полный эллиптический интеграл второго рода:
     
  • Полином Лежандра:
     
  • Присоединённая функция Лежандра:
     
  • Функции Бесселя:
     
  • Функция Куммера (Похгаммера), или вырожденная гипергеометрическая функция (англ.)
     
    является решением вырожденного гипергеометрического уравнения
     
  • Вырожденная гипергеометрическая функция с целым неположительным первым аргументом представляет собой обобщённый полином Лагерра:
     

ТождестваПравить

  •  
  • И замечательный частный случай предыдущего выражения:
     

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М., 1977. — Т. 1.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Кузнецов Д. С.: Специальные функции — М.:"Высшая школа", 1962
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5. — математические дополнения
  • Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Theory of Hypergeometric Functions / Transl. by Kenji Iohara. — Springer, 2011. — Vol. 305. — 317 p. — (Springer Monographs in Mathematics Series). — ISBN 9784431539124.
  • Scott J. F. The mathematical work of John Wallis, D.D., F.R.S., (1616-1703). — American Mathematical Soc., 1981. — 240 p. — (Chelsea Publishing Series). — ISBN 9780828403146.