Многочлены Лежандра

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке $[-1,\;1]$ в пространстве $L^{2}$. Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов $\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}$ ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула	$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}$
Скалярное произведение	$(f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx}$
Область определения	$[-1,\;1]$
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение	$(1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0$
Норма	$\|P_{n}(x)\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}$
Названы в честь	Лежандр, Адриен Мари

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Определение

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго рода

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

$(1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+n(n+1)u=0,$

(1)

где $z$ — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых $n$ имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени $n$ можно представить через формулу Родрига в виде

$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}.$

Часто вместо $z$ записывают косинус полярного угла:

$P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.$

Уравнение (1) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

$(1-z^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} z^{2}}}-2z{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,$

(2)

где $\mu$, $\nu$ — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при $|z|<1$ (в частности, при действительных $z$) или когда действительная часть числа $z$ больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или сферическими функциями (гармониками). Подстановка вида $w=(z^{2}-1)^{\mu /2}$ в (2) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области $|1-z|<2$ принимает вид

$w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )}}\left({\frac {z+1}{z-1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\frac {z}{2}}\right),$

где $F$ — гипергеометрическая функция. Подстановка $w=z^{2}$ в (2) приводит к решению вида

$w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)}}z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu /2}F\left({\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+1,\;{\frac {\nu }{2}}+{\frac {\mu }{2}}+{\frac {1}{2}};\;\nu +{\frac {3}{2}};\;z^{-2}\right),$

определённым на $|z|>1$. Функции $P_{\nu }^{\mu }(z)$ и $Q_{\nu }^{\mu }(z)$ называют функциями Лежандра первого и второго рода.

Справедливы соотношения

$P_{\nu }^{\mu }(z)=P_{-\nu -1}^{\mu }(z)$

и

$Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{-\nu -1}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{i\mu \pi }\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).$

Выражение через суммы

Многочлены Лежандра также определяются по следующей формуле:

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.$

Рекуррентная формула

Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при $n\geqslant 1$):

$P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n-1}(x),$

(3)

причём первые две функции имеют вид

$P_{0}(x)=1,$

$P_{1}(x)=x.$

Производная полинома Лежандра

Вычисляется по формуле

$P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].$

(4)

Корни полинома Лежандра

Вычисляются итеративно по методу Ньютона:

$x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P'_{n}(x_{i}^{(k)})}},$

причём начальное приближение для $i$-го корня ($i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$) берётся по формуле

$x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2}}.$

Значение полинома можно вычислять, используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениями

Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:

$(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t^{n}$   для   $|t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,$

$(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){\frac {1}{t^{n+1}}}$   для   $|t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.$

Следовательно,

$P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4(2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots \right].$

Присоединённые многочлены Лежандра

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле

$P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),$

которую также можно представить в виде

$P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).$

При $m=0$ функция $P_{n}^{m}$ совпадает с $P_{n}$.

Нормировка по правилу Шмидта

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом:

$SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),$

$SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(n-m)!}{(n+m)!}}\right)^{1/2}P_{n}^{m}(x).$

Сдвинутые многочлены Лежандра

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как ${\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)$, где сдвигающая функция $x\mapsto 2x-1$ (это аффинное преобразование) выбрана так, чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов $[-1,\;1]$ на интервал $[0,\;1]$, в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены ${\tilde {P_{n}}}(x)$:

$\int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,dx={\frac {1}{2n+1}}\delta _{mn}.$

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как

${\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.$

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является

${\tilde {P_{n}}}(x)={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].$

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n	${\tilde {P_{n}}}(x)$
0	$1$
1	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
4	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$

Матрица функции многочлена Лежандра

${\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&12&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots &\dots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &k(k+1)&\dots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &0&\dots &n(n+1)\\\end{pmatrix}}$

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны $k(k+1)$, где $k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\}$.

Примеры

Первые 6 многочленов Лежандра

Первые многочлены Лежандра в явном виде:

$P_{0}(x)=1,$

$P_{1}(x)=x,$

$P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),$

$P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),$

$P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),$

$P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),$

$P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),$

$P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),$

$P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35),$

$P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x^{3}+315x),$

$P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30\,030x^{4}+3465x^{2}-63),$

$P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90\,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),$

$P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),$

$P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849\,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),$

$P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309\,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}-429),$

$P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702\,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{3}-6435x),$

$P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^{10}+669278610x^{8}-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),$

$P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4\,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\,888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).$

Поскольку $P_{n}(1)=1$, то

$P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n}x^{n}}{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.$

Свойства

• Если $n\neq 0$, то $\forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.$
• Для $n\neq 0$ степень $P_{n}$ равна $n$.
• Сумма коэффициентов многочлена Лежандра $P_{n}(x)$ равна 1.
• Уравнение $P_{n}(x)=0$ имеет ровно $n$ различных корней на отрезке $[-1,\;1].$
• Пусть $\forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n}$. Тогда

  $U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,$

  $(x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.$

• Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения

  ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac {m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

При $m=0$ уравнение принимает вид

$P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).$

• Производящая функция для многочленов Лежандра равна

  $\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.$

• Условие ортогональности этих полиномов на отрезке $[-1,\;1]$:

  $\int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{kl},$

где $\delta _{kl}$ — символ Кронекера.

• Для $n\in \mathbb {N}$ норма $P_{n}$ равна

  $\|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx}}={\sqrt {\frac {2}{2n+1}}}.$

• Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой $P_{n}$ следующим соотношением:

  ${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n+1}{2}}}P_{n}(x).$

• При каждом $m>0$ система присоединённых функций Лежандра $P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots$ полна в $L_{2}(-1,\;1)$.
• В зависимости от $m$ и $n$ присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:

  $P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{m+n}P_{n}^{m}(x).$

  $P_{2n}$ — чётная функция,

  $P_{2n+1}$ — нечётная функция.

• $P_{n}(1)=1.$
• $P_{n}(-1)=(-1)^{n}.$
• $P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n}{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}$, поскольку $\forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0$, а $0^{2n-2n}=1$.
• Для $n\neq 0$ выполняется $P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n}}}$.
• $\forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt {\frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.$

Ряды многочленов Лежандра

См. также: Сумма ряда

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов Лежандра

Липшицевая функция $f$ является функцией со свойством

$|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|$, где $L>0$.

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть $\varepsilon (I)$ — пространство непрерывных отображений на отрезке $I=[-1,\;1]$, $f\in \varepsilon (I)$, и $n\in \mathbb {N}$.

Пусть

$c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,$

тогда $c_{n}(f)$ удовлетворяет следующему условию:

$\lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.$

Пусть $S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}$ и $S_{n}f$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $\forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\,dy$, где $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n+1}(y)P_{n}(x)}{x-y}};$
2. $S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y)-f(x){\big )}\,dy;$
3. $\forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

Липшицеву функцию $f$ можно записать следующим образом:

$f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.$

Разложение голоморфной функции

Всякая функция $f$, голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).$

Теорема сложения

Для величин, удовлетворяющих условиям $0\leqslant \psi _{1}<\pi$, $0\leqslant \psi _{2}<\pi$, $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$, $\varphi$ — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:

$P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,$

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

$P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k-m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi .$

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как

$Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k}(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m}P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi$

при условиях $0\leqslant \psi _{1}<\pi /2$, $0\leqslant \psi _{2}<\pi$, $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$, $\varphi$.

Функции Лежандра

Основная статья: Сферические функции

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра $P_{n,\;m}(x)$) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах $r,\;\theta ,\;\varphi$) вида (с точностью до константы)

$r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi$ и $r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,$

где $P_{n}^{m}$ — присоединённые многочлены Лежандра. Они также представимы в виде $r^{n}Y_{nm}$, где $Y_{nm}$ — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в $\mathbb {R} ^{3}$.

Литература

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
• Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
• Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
• Цимринг Ш. Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

Ссылки

• Legendre Polynomials — University of Rochester, 2010.