Гипотеза Пойи

Эта статья — об опровергутой теоретико-числовой гипотезе. О гипотезе, связанной с гипотезой Римана см. гипотеза Гильберта — Пойи.

Гипотеза Пойи — гипотеза в теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойей в 1919 году и опровергнутая Хейзелгроувом в 1958 году. Значение наименьшего контрпримера к ней — 906 150 257 — часто используется как иллюстрация к тому, что даже гипотезы, проверенные на огромных числовых промежутках, могут быть опровергнуты и требуют строгих доказательств.

График сумм $L(n)$ вплоть до $n=10^{7}$. Колебания обусловлены первыми нетривиальными нулями дзета-функции Римана.

Отрезок, на котором впервые нарушается гипотеза Пойи, крупным планом.

Логарифмический график $L(n)$ вплоть до $n=2\cdot 10^{9}$. Зелёным выделен участок, в котором происходит первое нарушение гипотезы. Синяя кривая показывает вклад нетривиальных нулей дзета-функции Римана в колебания функции $L(n)$.

Гипотеза утверждает, что не меньше половины натуральных чисел, меньших любого заранее фиксированного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей с учётом кратности, то есть для любого $n$ выполнено неравенство:

$L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leqslant 0$,

где $\lambda (k)$ — функция Лиувилля, принимающая значение $1$, если $k$ разлагается на чётное количество простых множителей с учётом кратности, и $-1$ в противном случае. Здесь фраза «с учётом кратности» означает, что каждый множитель учитывается количество раз, равное его степени в разложении.

Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно $1{,}845\cdot 10^{361}$. Первый конкретный контрпример был найден Шерманом-Леманом в 1960 году — 906 180 359. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример — 906 150 257. Гипотеза ложна для большинства чисел между 906 150 257 и 906 488 079; максимум, которого достигает $L(n)$ в этом диапазоне — 829 (для 906 316 571). Неизвестно, меняет ли $L(n)$ знак бесконечное количество раз.

Нули функции $L(n)$

Нули функции $L(n)$ распределены крайне неравномерно, их последовательность начинается следующим образом:

2; 4; 6; 10; 16; 26; 40; 96; 586; 906 150 256; 906 150 294; 906 150 308; 906 150 310; 906 150 314, …

Медленный рост продолжается вплоть до члена под номером 252, равного 906 488 080, а следующий член уже равен 351 100 332 278 250.

Ссылки

• Популярное видео на канале SparksMaths Архивная копия от 28 августа 2020 на Wayback Machine
• Статья на MathWorld Архивная копия от 18 марта 2020 на Wayback Machine