Гипотезы Поллока

Гипо́тезы По́ллока — несколько гипотез о фигурных числах, которые выдвинул в 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок[1][2][3]. Эти гипотезы можно рассматривать как дополнение теоремы Ферма о многоугольных числах, в том числе расширение теоремы на случай пространственных фигурных чисел.

  1. Гипотеза 1: любое натуральное число есть сумма не более чем девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454, последовательность A018889 в OEIS) требуют восьми, а двум числам (23 и 239) нужны все девять. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов[4] (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)[5].
  2. Гипотеза 2: любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел[6]. До сих пор не доказана и не опровергнута.
  3. Гипотеза 3: любое натуральное число есть сумма не более чем пяти тетраэдральных чисел[7]. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов. Обнаружены 241 число, для которых четырёх тетраэдральных чисел недостаточно (17, 27, 33, 52, 73, ..., последовательность A000797 в OEIS), скорее всего, последнее из них равно 343867[7].
  4. Гипотеза 4, обобщающая часть предыдущих. Обозначим число вершин одного из пяти правильных многогранников, а — число его граней (4, 6, 8, 12 или 20). Тогда каждое натуральное число является суммой не более чем фигурных чисел, соответствующих этому многограннику, то есть[3]:
(, тетраэдр) не более 5 тетраэдральных чисел;
(, октаэдр) не более 7 октаэдральных чисел;
(, куб) не более 9 кубических чисел;
(, икосаэдр) не более 13 икосаэдральных чисел;
(, додекаэдр) не более 21 додекаэдральных чисел.
Эта гипотеза до сих пор не доказана и не опровергнута.

ПримечанияПравить

  1. Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924.
  2. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232, 239, 337.
  3. 1 2 Leonard Eugene Dickson. History of the Theory of Numbers, Vol. II: Diophantine Analysis (англ.). — Dover, 2005. — P. 22—23. — ISBN 0-486-44233-0.
  4. Математические задачи. Студенческие олимпиады.
  5. Деза Е., Деза М., 2016, с. 231—232.
  6. Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 22–23, <https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22> .
  7. 1 2 Weisstein, Eric W. Pollock's Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить

  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

СсылкиПравить