Открыть главное меню

Правильный икосаэдрПравить

Два вида правильных икосаэдров
 
Выпуклый правильный икосаэдр
 
Большой икосаэдр

Имеется два тела, одно выпуклое и одно невыпуклое, оба из которых называются правильными икосаэдрами. Оба имеют 30 рёбер и 20 граней в виде правильных треугольников, которые сходятся по пять в каждой из его двенадцати вершин. Оба имеют икосаэдральную симметрию. Термин «правильный икосаэдр» обычно относится к выпуклому виду, а невыпуклая форма называется большим икосаэдром.

Выпуклый правильный икосаэдрПравить

Основная статья: Правильный икосаэдр

Под выпуклым правильным икосаэдром обычно понимается правильный икосаэдр, один из пяти правильных многогранников, и он представлен символом Шлефли {3, 5}. Многогранник имеет 20 треугольных граней по 5 граней в каждой вершине.

Его двойственным многогранником является правильный додекаэдр {5, 3}, имеющий три правильных пятиугольных грани вокруг каждой вершины.

Большой икосаэдрПравить

Основная статья: Большой икосаэдр

Большой икосаэдр является одним из четырёх звёздчатых тел Кеплера — Пуансо. Его Символ Шлефли равен {3, 52}. Подобно выпуклому виду он имеет также 20 граней в виде правильных треугольников, но его вершинной фигурой служит пентаграмма, а не пятиугольник, что приводит к геометрически пересекающимся граням. Пересечения треугольников не представляют новых рёбер.

Его двойственным многогранником является большой звёздчатый додекаэдр {52, 3}, имеющий три правильных звёздчатых пятиугольных грани вокруг каждой вершины.

Звёздчатые формы икосаэдраПравить

Образование звёздчатой формы — это процесс расширения граней или рёбер многогранника, пока они не соприкоснутся с образованием нового многогранника. Это осуществляется симметрично, так что результирующее тело сохраняет все симметрии родительского тела.

В книге «Пятьдесят девять икосаэдров» (The Fifty-Nine Icosahedra) Коксетера с соавторами перечислено 58 таких звёздчатых форм правильного икосаэдра .

Из них многие имеют отдельную грань в каждой из 20 плоскостей, а потому являются также икосаэдрами. Большой икосаэдр среди них.

Другие звёздчатые формы имею более одной грани на каждой плоскости или формируются как соединение более простых многогранников. Они не являются, строго говоря, икосаэдрами, хотя и упоминаются часто как таковые.

Пиритоэдральная симметрияПравить

Пиритоэдральная и тетраэдральная симметрии
Диаграммы Коксетера       (пираэдральная)  
      (тетраэдральный)  
Символ Шлефли s{3,4}
sr{3,3} или  
Грани 20 треугольников:
8 правильных
12 равнобедренных
Рёбра 30 (6 коротких + 24 длинных)
Вершины 12
Группа симметрии Th, [4,3+], (3*2), порядок 24
Группы вращений Td, [3,3]+, (332), порядок 12
Двойственный многогранник пиритоэдр
Свойства выпуклый
 
Развёртка
   
Правильный икосаэдр топологически идентичен кубооктаэдру с 6 квадратными гранями, разбитыми по диагоналям.

Правильный икосаэдр может быть искривлён или размечен так, что он будет обладать более низкой пироэдральной симметрией[2] и он называется плосконосым октаэдром, плосконосым тетратетраэдом, плосконосым тетраэдром и псевдоикосаэдром. Его можно рассматривать как альтернированный[en] усечённый октаэдр. Если все треугольники правильные, симметрии можно различить путём раскраски 8 и 12 наборов треугольников различным образом.

Пиритоэдральная симметрия имеет символ (3*2), [3+,4] и порядок 24. Тетраэдральная симметрия имеет символ (332), [3,3]+ и порядок 12. Эти низкие симметрии позволяют искривление из 20 равносторонних треугольных граней, получая 8 правильных треугольников и 12 конгруэнтных равнобедренных треугольников.

Эти симметри дают диаграммы Коксетера:       и       соответственно, и оба обладают более низкой симметрией, чем симметрии      , (*532), [5,3] порядка 120 правильного икосаэдра.

Декартовы координатыПравить

 
Построение из вершин усечённого октаэдра, показаны внутренние прямоугольники.

Координаты 12 вершин могут быть заданы векторами, определёными всеми положительными циклическими перестановками и изменениям знака координат вида (2, 1, 0). Эти координаты представляют усечённый октаэдр с альтернированным[en] удалением вершин.

Это построение называется плосконосым тетраэдром, если образовано из вектора (ϕ, 1, 0), где ϕ является золотым сечением[2].

Икосаэдр ЙессенаПравить

 
Правильный икосаэдр и икосаэдр Йессена.
Основная статья: Икосаэдр Йессена

В икосаэдре Йессена, который иногда называют ортогональным икосаэдром Йессена, 12 равнобедренных граней расположены иначе, так что образуют невыпуклое тело. Он имеет прямые двугранные углы.

Он равносоставлен с кубом, что значит, что его можно разрезать на более мелкие многогранники, из которых можно составить полный куб.

Другие икосаэдрыПравить

РомбоикосаэдрПравить

Основная статья: Ромбоикосаэдр

Ромбоикосаэдр[en] является зоноэдром, состоящим из 20 равных ромбов. Он может быть получен из ромботриаконтаэдра путём удаления 10 средних гранях. Хотя все грани конгруэнтны, ромбоикосаэдр не гране транзитивен.

Симметрии пирамиды и призмыПравить

Общие симметрии икосаэдра с пирамидами и призмами:

Правильногранные многогранникиПравить

Некоторые правильногранные многогранники являются икосаэдрами[3]: (даны обозначения Джонсона и Залгаллера

J2246) J35464) J3646+М4) J593153) J6015+2М3) J9220)
 
Скрученно удлинённый трёхскатный купол[en]
 
Удлинённый трёхскатный прямой бикупол
 
Удлинённый трёхскатный повёрнутый бикупол
 
Дважды противоположно наращённый додекаэдр
 
Дважды косо наращённый додекаэдр
 
Уплощённая треугольная клиноротонда
           
16 triangles
3 квадрата
 
1 шестиугольник
8 triangles
12 квадратов
8 triangles
12 квадратов
10 triangles
 
10 пятиугольников
10 triangles
 
10 пятиугольников
13 triangles
3 квадрата
3 пятиугольника
1 шестиугольник


ПримечанияПравить

  1. Jones, 2003.
  2. 1 2 John Baez. Fool's Gold (September 11, 2011).
  3. Icosahedron on Mathworld.

ЛитератураПравить

  • Daniel Jones. English Pronouncing Dictionary / Peter Roach, James Hartmann, Jane Setter. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — ISBN 3-12-539683-2.