Гипоэллиптический оператор

Гипоэллиптический оператор — дифференциальный оператор в частных производных, фундаментальное решение которого принадлежит классу $C^{\infty }$ во всех точках пространства, за исключением начала координат.

Определение

Пусть $P(\xi )$ — вещественный полином от переменных $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}):$

$P(\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}},$

где $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n}$ и $|\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$.

Определим соответствующий дифференциальный оператор:

$P(D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }D^{\alpha }:=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}},$

где

$D=(D_{1},\ldots ,D_{n}),\quad D_{j}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots ,n.$

Обобщенная функция ${\mathcal {E}}(x)$ называется фундаментальным решением дифференциального оператора $P(D)$, если она является решением уравнения $P(D){\mathcal {E}}(x)=\delta (x),$ где $\delta (x)$ — дельта-функция Дирака. Оператор $P(D)$ называется гипоэллиптическим, если ${\mathcal {E}}(x)$ принадлежит классу $C^{\infty }$ при всех $x\neq 0$.

Свойства

Следующий критерий гипоэллиптичности часто используется в качестве определения гипоэллиптического оператора:

Теорема 1. Оператор $P(D)$ является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда для любой открытой области $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ всякое решение $u(x)$ (обобщенная функция) уравнения $P(D)\,u(x)=f(x),\quad x\in U,$ с любой правой частью $f\in C^{\infty }(U)$ также принадлежит классу $u\in C^{\infty }(U).$

Также имеет место следующий алгебраический критерий гипоэллиптичности, установленный Хёрмандером:

Теорема 2. Оператор $P(D)$ является гипоэллиптическим, тогда и только тогда, когда ${\frac {P^{(k)}(-i\xi )}{P(-i\xi )}}\,\to \,0,\quad \ |\xi |\to \infty ,$ для всех $k=(k_{1},\ldots ,k_{n})\in \mathbb {Z} _{+}^{n},\,\ |k|\geq 1,$ где $i$ — мнимая единица.

Примеры

• Любой эллиптический оператор является гипоэллиптическим, например, оператор Лапласа.
• Оператор теплопроводности является гипоэллиптическим, но не эллиптическим.
• Оператор Д’Аламбера не является гипоэллиптическим.

Литература

• Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. — Москва: Мир, 1986—1988.
• Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. — Москва: Наука, 1979.
• Ю.В. Егоров, М.А. Шубин. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными. Основы классической теории. — Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. — Москва: ВИНИТИ, 1988. — Т. 30. — С. 5-255.
• Ж. Трев. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. — Москва, 1965.