Граф Риба

В теории графов, граф Риба некоторой функции описывает связность поверхностей уровня этой функции. Был введен Жоржем Рибом^[1]

Определение

Рассмотрим непрерывную функцию, заданную на компактном многообразии, $f:M\to R$ . Прообраз точки $y\in R$ является поверхностью уровня функции $f^{-1}(y)\subset M$ . Две точки $x,x'\in M$ называются эквивалентными, $x\!\sim x'$ , если они принадлежат одной компоненте связности поверхности уровня $f^{-1}(y)$ .

Граф Риба функции $f$ — это факторпространство многообразия $M$ по такому отношению эквивалентности, $G=M/\!\sim$ . Вершинами графа являются компоненты связности критических уровней функции. Ориентация графа $G$ определяется направлением градиента функции $f$ .

Свойства

Следующие свойства графа Риба были доказаны в его основополагающей работе^[1]:

Пусть на компактном $n$ -мерном многообразии класса гладкости $C^{2}$ задана функция Морса f, все критические точки которой соответствуют разным критическим значениям функции. Множество таких функций открыто и плотно в пространстве всех функций. Обозначим $\Gamma$ граф Риба этой функции. Тогда:

Вершинам степени 1 графа $\Gamma$ в точности соответствуют критические точки функции f индекса 0 и n.
Если $n\geq 3$ , вершина графа, соответствующая критическому уровню функции f, который содержит критическую точку индекса 1 и n-1, может иметь степень 2 или 3.
Если $n\,=2$ , вершины графа, соответствующие критическим точкам индекса 1, могут иметь степень 2, 3 или 4.
Степень вершины графа, соответствующей критическому уровню функции f, который содержит критическую точку индекса, отличного от 0, 1, n-1 и n, всегда равна 2.

Эти свойства графа влекут любопытное свойство функций Морса, доказанное там же^[1]:

Обозначим через $\Omega _{k}$ множество критических точек функции индекса k и n-k. Если $n\geq 3$ , то $|\Omega _{0}|\leq |\Omega _{1}|+2$ .

Применение

Графы Риба используются в математике при изучении

топологической классификации функций Морса ^[2]
гамильтоновых систем ^[3]

Графы Риба и, в особенности, ациклические графы Риба, называемые контурными деревьями, находят широкое применение в компьютерных приложениях:

в компьютерном дизайне и геометрическом моделировании,
в геометрических моделях структуры данных и методах поиска в базах данных
в системах автоматизации проектных работ.

Примечания

↑ ¹ ² ³ G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] Архивная копия от 9 марта 2016 на Wayback Machine
↑ Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях. // Український математичний журнал. 2003. Т. 55. № 5. С. 687—700.
↑ А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем, Наука, М., 1997.

[Reeb-1] ¹ ² ³ G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] Архивная копия от 9 марта 2016 на Wayback Machine

[2] Шарко В. В. Гладкая и топологическая эквивалентность функций на поверхностях. // Український математичний журнал. 2003. Т. 55. № 5. С. 687—700.

[3] А. В. Болсинов, А. Т. Фоменко, Введение в топологию интегрируемых гамильтоновых систем, Наука, М., 1997.

[1]

[2]

[3]