Делимая группа

Делимая группа — это группа , такая что для любых и уравнение

разрешимо. Часто группа предполагается абелевой, а условие записывается в аддитивной нотации как .

Группа называется -делимой ( — простое число), если для любого разрешимо в уравнение .

Некоммутативные делимые группы иногда называются полными (не путать с полными группами, которые изоморфны своей группе автоморфизмов).

Примеры

править
  • Группа   всех рациональных чисел;
  •  -примарная квазициклическая группа  , то есть группа, порожденная счетным набором элементов  , удовлетворяющих условию
 

Свойства делимых групп

править
  • Гомоморфный образ делимой абелевой группы является делимой группой.
  • Абелева группа является делимой тогда и только тогда, когда она  -делима при каждом простом  .
  • Каждая делимая подгруппа выделяется прямым слагаемым.
  • Любая абелева группа   разлагается в прямую сумму  , где   — делимая группа (она называется делимой частью группы  ), а   — редуцированная группа, то есть группа, не содержащая ненулевых делимых подгрупп.

Строение делимых групп

править

Если   — произвольная делимая абелева группа, то

 .

Связанные определения

править

Если в полной группе указанные в определении уравнения разрешимы однозначно, она называется D-группой. Таковы, в частности, локально нильпотентные полные группы без кручения.

Литература

править