Дельтаэдры

(перенаправлено с «Дельтаэдр»)

Дельтаэдр — это многогранник, все грани которого являются правильными треугольниками. Название взято от греческой заглавной буквы дельта (), которая имеет форму равностороннего треугольника. Существует бесконечно много дельтаэдров, но из них только восемь выпуклы, и они имеют 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 и 20 граней[1].

Наибольший строго выпуклый дельтаэдр является правильным икосаэдром
Усечённый тетраэдр с шестиугольниками, разбитыми на треугольники. Это тело не является строго выпуклым дельтаэдром, поскольку находящиеся в одной плоскости грани недопустимы по определению.

Число граней, рёбер и вершин перечислены ниже для каждого из восьми дельтаэдров.

Выпуклые дельтаэдрыПравить

Всего существует 8 выпуклых дельтаэдров[2], 3 из которых являются платоновыми телами, а 5 — многогранниками Джонсона.

У дельтаэдра с 6 гранями некоторые вершины имеют степень 3, а некоторые — степень 4. В дельтаэдрах с 10, 12, 14 и 16 гранями некоторые вершины имеют степень 4, а некоторые — степень 5. Эти пять неправильных дельтаэдров принадлежат классу правильногранных многогранников — выпуклых многогранников с правильными многоугольниками в качестве граней.

Не существует выпуклого дельтаэдра с 18 гранями[3]. Однако икосаэдр со стянутым ребром[en] даёт пример октаэдра, который либо может быть сделан выпуклым с 18 неправильными гранями, либо с двумя наборами по три равносторонних треугольника, лежащими в одной плоскости.

Правильные дельтаэдры
Название Изображение Количество
вершин
Количество
рёбер
Количество
граней
Конфигурация
вершины
Группа симметрии
Правильный тетраэдр   4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
Правильный октаэдр (четырёхугольная бипирамида)   6 12 8 6 × 34 Oh, [4,3]
Правильный икосаэдр   12 30 20 12 × 35 Ih, [5,3]
Дельтаэдры Джонсона
Треугольная бипирамида   5 9 6 2 × 33
3 × 34
D3h, [3,2]
Пятиугольная бипирамида   7 15 10 5 × 34
2 × 35
D5h, [5,2]
Плосконосый двуклиноид   8 18 12 4 × 34
4 × 35
D2d, [2,2]
Трижды наращённая треугольная призма   9 21 14 3 × 34
6 × 35
D3h, [3,2]
Скрученно удлинённая четырёхугольная бипирамида   10 24 16 2 × 34
8 × 35
D4d, [4,2]

Нестрого выпуклые случаиПравить

Существует бесконечно много дельтаэдров с копланарными (лежащими в одной плоскости) треугольниками. Если множества копланарных треугольников считаются одной гранью, можно насчитать меньше граней, рёбер и вершин. Копланарные треугольные грани могут быть слиты в ромбические, трапециевидные, шестиугольные или другие равносторонние многоугольные грани. Каждая грань должна быть выпуклым полиамондом, таким как  ,  ,  ,  ,  ,  ,   и  , ...[4]

Некоторые небольшие примеры

Копланарные дельтаэдры
Рисунок Название Граней Рёбер Вершин Конфигурации вершин Группа симметрии
  Наращенный октаэдр[en]
Наращение
1 тетр. + 1 окт.
10   15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36
C3v, [3]
4  
3  
12
  Треугольный трапецоэдр[en]
Наращение
2 тетр. + 1 окт.
12   18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36
C3v, [3]
6   12
  Наращение
2 тетр. + 1 окт.
12   18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36
C2v, [2]
2  
2  
2  
11 7
  Треугольная усечённая пирамида
Наращение
3 тетр. + 1 окт.
14   21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36
C3v, [3]
1  
3  
1  
9 6
  Удлинённый октаэдр[en]
Наращение
2 тетр. + 2 окт.
16   24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36
D2h, [2,2]
4  
4  
12 6
  Тетраэдр
Наращение
4 тетр. + 1 окт.
16   24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36
Td, [3,3]
4   6 4
  Наращение
3 тетр. + 2 окт.
18   27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36
D2h, [2,2]
2  
1  
2  
2  
14 9
  Икосаэдр со стянутым ребром[en] 18   27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36
C2v, [2]
12  
2  
22 10
  Двуусечённая бипирамида[en]
Наращение
6 тетр. + 2 окт.
20   30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36
D3h, [3,2]
2  
6  
15 9
  Трёхскатный купол
Наращение
4 тетр. + 3 окт.
22   33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36
C3v, [3]
3  
3  
1  
1  
15 9
  Треугольная бипирамида
Наращение
8 тетр. + 2 окт.
24   36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36
D3h, [3]
6   9 5
  Шестиугольная антипризма 24   36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36
D6d, [12,2+]
12  
2  
24 12
  Усечённый тетраэдр
Наращение
6 тетр. + 4 окт.
28   42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36
Td, [3,3]
4  
4  
18 12
  Тетракискубоктаэдр[en]
Октаэдр
Наращение
8 тетр. + 6 окт.
32   24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36
Oh, [4,3]
8   12 6

Невыпуклые дельтаэдрыПравить

Невыпуклых и тороидальных дельтаэдров существует бесконечно много.

Пример дельтаэдра с самопересекающимися гранями

Другие невыпуклые дельтаэдры можно получить путём добавления пирамид к граням всех 5 правильных многогранников:

         
Триакистетраэдр Тетракисгексаэдр Триакисоктаэдр
(stella octangula)
Пентакисдодекаэдр Триакисикосаэдр
12 треугольников 24 треугольников 60 треугольников

Другие наращения тетраэдров:

Примеры: Наращенные тетраэдры
     
8 треугольников 10 треугольников 12 треугольников

Также путём добавления к граням перевёрнутых пирамид:

 
Выемчатый додекаэдр[en]
 
Тороидальный дельтаэдр
60 треугольников 48 треугольников

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Freudenthal H., van der Waerden B. L. Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid") // Simon Stevin. — 1947. — Т. 25. — С. 115–128. (Авторы показали, что существует только 8 выпуклых дельтаэдров. )
  • Charles W. Trigg. An Infinite Class of Deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — Т. 51, вып. 1. — С. 55–57.