Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину $x$ , искомую функцию $y$ и её производные, то есть соотношение вида:

$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией $y$ от переменной $x$ и её производными.

Дифференциальное уравнение Лагранжа

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

$y=x\varphi (y')+\psi (y')$

где $\varphi$ и $\psi$ — известные функции от $y'$ , причём считаем, что функция $\varphi (y')$ отлична от $y'$ . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных $x$ и $y$ .

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр $y'=p$ . Тогда уравнение можно записать в виде:

$y=x\varphi (p)+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(1)$

Замечая, что $p={dy \over dx}$ продифференцируем обе части этого уравнения по $x$ :

$p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx}$

Преобразуем его в виде

$p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx}$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении $p=p_{0}$ , удовлетворяющему условию $p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ . В самом деле, при любом постоянном значении $p$ , производная ${dp \over dx}$ тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению $p=p_{0}$ , то есть, ${dy \over dx}=p_{0}$ , является линейной функцией от $x$ , поскольку производная ${dy \over dx}$ , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство $(1)$ значение $p=p_{0}$ , то есть

$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение $(2)$ в виде

${dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p)}$

и будем считать $x$ , как функцию от $p$ . Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x$ от $p$ . Решая его, найдём

$x=\omega (p,C)$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

Исключая параметр $p$ из уравнений $(1)$ и $(3)$ найдём общий интеграл уравнения $(1)$ в виде

$\Phi (x,y,C)=0$ .

Дифференциальное уравнение Клеро

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

$y=xy'+\psi (y')$ $\longleftrightarrow$ $(1)$

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда $\varphi (y')=y'$ . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим $y'={dy \over dx}=p$ . Тогда

$y=xp+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Продифференцируем это уравнение по $x$ , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что $p={dy \over dx}$ , пишем

$p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx}$

Преобразуем его к виду

$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

${dp \over dx}=0$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

и

$[x+\psi '(p)]=0$ $\longleftrightarrow$ $(4)$

Интегрируя уравнение $(3)$ получим $p=C=const$ . Подставим значение $p$ в уравнение $(2)$ найдём его общий интеграл

$y=xC+\psi (C)$ $\longleftrightarrow$ $(5)$

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения $(4)$ найдём $p$ как функцию от $x$ , затем подставим её в уравнение $(2)$ , то получим функцию

$y=xp(x)+\psi [p(x)]$ $\longleftrightarrow$ $(6)$

Которая, как легко показать, является решением уравнения $(1)$ . Действительно, в силу равенства $(4)$ находим

${dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx}$

Но поскольку $[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ , то ${dy \over dx}=p$ . Поэтому подставляя функцию $(6)$ в уравнение $(1)$ , получаем тождество

$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$ .

Решение $(6)$ не получается из общего интеграла $(5)$ ни при каком значении произвольной постоянной $C$ . Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра $p$ из уравнений

$y=xp+\psi (p)$ и $x+\psi '(p)=0$

или, что без разницы, исключением $C$ из уравнений

$y=xC+\psi (C)$ и $x+\psi '(C)=0$

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом $(5)$ .

Приложения уравнения Клеро.

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относиться к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

$Y-y=y'(X-x)$

или

$Y=y'X+(y-xy')$

Любое свойство касательной выражается соотношением между $(y-xy')$ и $y'$ :

$\Phi (y-xy',y')=0$

Решая его относительно $(y-xy')$ , придём к уравнению вида

$y=xy'+\psi (y')$ , то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

Литература

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. также

Соотношение Клеро

Ссылки