Открыть главное меню

Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее переменную величину , искомую функцию и её производные, то есть соотношение вида:

Дифференциальные уравнения находят широчайшее применение в различных областях науки и техники. Они возникают при решении задач, когда устанавливается взаимосвязь между функцией от переменной и её производными.

Дифференциальное уравнение ЛагранжаПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка следующего вида

 

где   и   — известные функции от  , причём считаем, что функция   отлична от  . Такого вида уравнение называют уравнением Лагранжа. Оно является линейным относительно переменных   и  .

Такое дифференциальное уравнение приходится решать, как говорят, методом введения вспомогательного параметра. Найдём его общее решение, введя параметр  . Тогда уравнение можно записать в виде:

     


Замечая, что   продифференцируем обе части этого уравнения по  :

 

Преобразуем его в виде

     

Уже сейчас из этого уравнения можно найти некоторые решения, если заметить, что оно обращается в верное равенство при всяком постоянном значении  , удовлетворяющему условию  . В самом деле, при любом постоянном значении  , производная   тождественно обращается в нуль и тогда обе части уравнения можно приравнять к нулю.

Решение, соответствующее каждому значению  , то есть,  , является линейной функцией от  , поскольку производная  , постоянна только у линейных функций. Чтобы найти эту функцию, достаточно подставить в равенство   значение  , то есть

 .

Если окажется, что это решение не получается из общего ни при каком значении произвольной постоянной, то оно будет являться особым решением.

Найдём теперь общее решение. Для этого запишем уравнение   в виде

 

и будем считать  , как функцию от  . Тогда полученное уравнение есть не что иное как линейное дифференциальное уравнение относительно функции   от  . Решая его, найдём

     

Исключая параметр   из уравнений   и   найдём общий интеграл уравнения   в виде

 .

Дифференциальное уравнение КлероПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида

     

Такое уравнение носит название уравнения Клеро.

Легко видеть, что уравнение Клеро — частный случай уравнения Лагранжа, когда  . Интегрируется оно так же путём введения вспомогательного параметра.

Положим  . Тогда

     

Продифференцируем это уравнение по  , так же, как это делали с уравнением Лагранжа, замечая, что  , пишем

 

Преобразуем его к виду

 

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим

     

и

     

Интегрируя уравнение   получим  . Подставим значение   в уравнение   найдём его общий интеграл

     

С геометрической точки зрения, этот интеграл представляет собой семейство прямых линий. Если из уравнения   найдём   как функцию от  , затем подставим её в уравнение  , то получим функцию

     

Которая, как легко показать, является решением уравнения  . Действительно, в силу равенства   находим

 

Но поскольку  , то  . Поэтому подставляя функцию   в уравнение  , получаем тождество

 .

Решение   не получается из общего интеграла   ни при каком значении произвольной постоянной  . Это решение — есть особое решение, которое получается вследствие исключения параметра   из уравнений

  и  

или, что без разницы, исключением   из уравнений

  и  

Следовательно, особое решение уравнения Клеро определяет огибающую семейства прямых, заданных общим интегралом  .

Приложения уравнения Клеро.Править

К уравнению Клеро приводят геометрические задачи, где требуется определить кривую, по заданному свойству её касательной, причём это свойство должно относится к самой касательной, а не к точке касания. В самом деле, уравнение касательной имеет вид

 

или

 

Любое свойство касательной выражается соотношением между   и  :

 

Решая его относительно  , придём к уравнению вида

 , то есть ни к чему иному, как к уравнению Клеро.

ЛитератураПравить

В. И. Смирнов «Курс высшей математики», том второй, издательство «Наука», Москва 1974.

Н. С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисление», том второй, издательство «Наука», Москва 1985

К. Н. Лунгу, В. П. Норин и др. «Сборник задач по высшей математике», второй курс, Москва: Айрис-пресс, 2007

См. такжеПравить

СсылкиПравить