Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки

Случай известного среднего

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$ — известное среднее. Определим произвольное $\alpha \in [0,1]$, называемое уровнем значимости и равное $1-\gamma$ (где $\gamma$ — доверительная вероятность), и построим $\alpha$ — доверительный интервал для неизвестной дисперсии $\sigma ^{2}$.

Утверждение. Случайная величина

$H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}$

имеет распределение $\chi ^{2}(n)$. Пусть $\chi _{\alpha ,n}^{2}$ — $\alpha$-квантиль этого распределения. Тогда имеем:

$\mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}\right)=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $H$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}}}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n}^{2}}}\right)=1-\alpha$.

Случай неизвестного среднего

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ — независимая выборка из нормального распределения, где $\mu$, $\sigma ^{2}$ — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии $\sigma ^{2}$.

Теорема Фишера для нормальных выборок. Случайная величина

$H={\frac {(n-1)S^{2}}{\sigma ^{2}}}$,

где $S^{2}$ — несмещённая выборочная дисперсия, имеет распределение $\chi ^{2}(n-1)$. Тогда имеем:

$\mathbb {P} \left(\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}\right)=1-\alpha$.

После подстановки выражения для $H$ и несложных алгебраических преобразований получаем:

$\mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}}}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{{\frac {\alpha }{2}},n-1}^{2}}}\right)=1-\alpha$.

Ссылки

• http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htm (англ.)