Интеграл Даниеля

Интеграл Даниеля — одно из обобщений интеграла Римана, альтернативное понятию интеграла Лебега.

В сравнении с интегралом Лебега, интеграл Даниеля не требует предварительной разработки подходящей теории меры, за счёт чего имеет определённые преимущества, особенно в функциональном анализе при обобщении на пространства высших размерностей и дальнейших обобщениях (например, в форме интеграла Стилтьеса). Конструкции Лебега и Даниеля эквивалентны, если рассматривать в качестве элементарных ступенчатые функции, однако при обобщении понятия интеграла на более сложные объекты (например, линейные функционалы) возникают существенные трудности в построении интеграла по Лебегу, тогда как интеграл Даниеля строится в этих случаях относительно просто.

Предложен английским математиком Перси Джоном Даниелем в 1918 году.

Определение

Основная идея состоит в обобщении понятия интеграла, исходя о представлении о нём как о функционале. Рассмотрим семейство $H$ ограниченных вещественнозначных функций (называемых элементарными функциями), определённых на пространстве $X$, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. Если $f_{1},f_{2}\in H$, то $f_{1}+f_{2}\in H$.
2. Если $f\in H$, то $cf\in H$, где $c$ — действительное число.
3. Если $f_{1},f_{2}\in H$, то $\max(f_{1},f_{2})\in H$ и $\min(f_{1},f_{2})\in H$.

На классе $H$ задан функционал $U(f)$, обладающий следующими свойствами:

1. $U(f_{1}+f_{2})=U(f_{1})+U(f_{2})$.
2. $U(cf)=cU(f)$.
3. Если $f_{1}\geqslant f_{2}\geqslant f_{3}\geqslant ...$ и $\lim _{n\to \infty }f_{n}=0$, то $\lim _{n\to \infty }U(f_{n})=0$ (свойство Лебега).
4. $U(f)\geqslant 0$, если $f\geqslant 0$

В этих терминах можно определить множества меры нуль. Множество $Z$, являющееся подмножеством $X$, имеет меру нуль, если для любого $\varepsilon >0$ существует неубывающая последовательность неотрицательных элементарных функций $h_{p}(x)\in H$ такая, что $Ih_{p}<\varepsilon$ и $\sup _{p}h_{p}(x)\geqslant 1$ на $Z$.

Если некоторое условие выполняется на $X$ везде, кроме, может быть, подмножества меры ноль, то говорят, что оно выполняется почти всюду.

Рассмотрим множество $L^{+}$, состоящее из всех функций, являющихся пределом неубывающих последовательностей $\{h_{n}\}$ элементарных функций почти всюду, причём множество интегралов $Ih_{n}$ ограничено. Интеграл функции $f\in L^{+}$ по определению равен:

$If=\lim _{n\to \infty }Ih_{n}.$

Можно показать, что это определение корректно, то есть оно не зависит от выбора последовательности $\{h_{n}\}$.

Свойства

С помощью этой конструкции могут быть доказаны почти все теоремы теории интеграла Лебега, например теорема Лебега о мажорируемой сходимости, теорема Тонелли — Фубини, лемма Фату и теорема Риса — Фишера. Его свойства такие же, как и у обычного интеграла Лебега.

Меры, вводимые на основе интеграла Даниеля

Из-за естественного соответствия между множествами и функциями, возможно построить теорию меры на основе интеграла Даниеля. Если взять характеристическую функцию $\chi (x)$ некоторого множества, то её интеграл может быть взят в качестве меры этого множества. Можно показать, что это определение эквивалентно классическому определению меры по Лебегу.

См. также

• Интеграл Лебега — Стилтьеса

Литература

• Daniell, P. J., 1919, «Integrals in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 20: 281-88.
• Daniell, P. J., 1919, «Functions of limited variation in an infinite number of dimensions», Annals of Mathematics 21: 30-38.
• Daniell, P. J., 1920, «Further properties of the general integral», Annals of Mathematics 21: 203-20.
• Daniell, P. J., 1921, «Integral products and probability», American Journal of Mathematics 43: 143-62.
• Royden, H. L., 1988. Real Analysis, 3rd. ed. Prentice Hall.
• Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука, 1966. — 202 с.
• Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера, производная. — М.: Наука, 1967.