Теорема Риса — Фишера

Теорема Риса — Фишера — утверждение функционального анализа об изометричности и изоморфности пространства Лебега и пространства Гильберта .

Доказана в 1907 году независимо Фридьешем Рисом и Эрнстом Фишером (нем. Ernst Sigismund Fischer).

ДоказательствоПравить

Возьмём в пространстве   какую-нибудь полную ортонормальную систему  . Тогда для любого   имеем  , причем в силу равенства Парсеваля  . Таким образом, последовательность коэффициентов Фурье функции   можно рассматривать как элемент   гильбертова пространства    . При этом соответствие   однозначно. Пусть, наоборот, дан элемент   гильбертова пространства  . Рассмотрим в   формально ряд  , где   — та же самая полная ортонормальная система. Последовательность   частичных сумм этого ряда сходится в среднем в себе, ибо   при   и   в силу сходимости ряда  . Так как пространство   полное, это значит, что ряд   сходится, его сумма имеет коэффициенты Фурье   и эту сумму   ставим в соответствие элементу  . Опять соответствие   однозначно. Итак, мы установили взаимно однозначное соответствие между элементами пространства   и  . Так как, очевидно   и  , то из   следует  , то есть установленное нами соответствие есть изоморфизм. Наконец, для любых двух элементов   имеем в силу равенства Парсеваля   и установленное нами соответствие сохранит расстояние, то есть   и   изометричны.

ЛитератураПравить

  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.