Открыть главное меню

Интерполирование с кратными узлами — задача о построении многочлена минимальной степени, принимающего в некоторых точках (узлах интерполяции) заданные значения, а также заданные значения производных до некоторого порядка.

Показывается, что существует единственный многочлен степени , удовлетворяющий условиям:

, где .

Этот многочлен называют многочленом с кратными узлами, или многочленом Эрмита. В общем виде:

,  — количество узлов и  — кратность узла .

Шарль Эрмит показал, что

, где  — коэффициенты ряда Тейлора для функции .

Содержание

ДоказательствоПравить

Частные случаиПравить

  • Если все   равны единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с интерполяционным многочленом Лагранжа.
  • Если количество узлов интерполяции равно единице, то интерполяционный многочлен Эрмита совпадает с многочленом Тейлора.
  • Если количество узлов интерполяции равно двум и в каждом задано значение функции и значение её производной — имеем задачу о построении кубического сплайна.

Оценка остатка интерполяцииПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.