Интерполяционные формулы Ньютона

(перенаправлено с «Интерполяционный многочлен Ньютона»)

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

ФормулыПравить

Пусть заданы некоторые попарно различные точки  , называемые также узлами интерполяции, и известны значения   некоторой функции   в этих точках.

Случай неравноотстоящих узловПравить

Если все расстояния между соседними узлами различны, то многочлен Ньютона строится по формуле[1]

 

где   — разделённая разность порядка  .

Случай равноотстоящих узловПравить

Если соседние узлы находятся друг от друга на некотором фиксированном расстоянии  , то есть  ,  , то многочлен Ньютона можно строить либо начиная с   (в таком случае говорят об «интерполировании вперёд»), либо с   («интерполирование назад»).

В первом случае формула для многочлена Ньютона принимает вид[2]

 

где  , а выражения вида   — конечные разности.

Во втором случае формула принимает вид[3]

 

где  .

При   справедлива формула

 

где   — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Остаточный членПравить

Многочлен Ньютона представляет собой одну из форм записи многочлена Лагранжа, поэтому остаточные члены этих формул совпадают[4]. Однако остаточный член   формулы Ньютона можно записать в другой форме:

  • для случая неравноотстоящих узлов[4]:
 
Если функция   имеет производную порядка  , то   где   — некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все узлы интерполяции.
  • для случая равноотстоящих узлов:
для интерполирования вперёд[5]:
 
для интерполирования назад[6]:
 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить