Калибровочная дифференциальная форма

Калибровочная формадифференциальная форма на римановом многообразии. Инструмент в теории минимальных поверхностей позволяющий доказать минимальность площади.

ОпределениеПравить

Замкнутая  -форма   на римановом многообразии   назыетеся калибровочной если для любой ортонормированной системы из   векторов   выполняется неравенство

 

При этом если для  -мерного подмногообразие   в   достигается равенство

 

для ортонормированного базиса в каждом касательном пространстве к  , то говорят, что   калибруется  .

СвойстваПравить

Если  -мерного подмногообразие   в   калибруется формой  , то   минимизирует площадь среди всех ему гомологичных подмногообразий. Действительно, предположим   гомологично  , тогда

 

где первое равенство держится, потому что   калибруется  , второе равенство — по теореме теореме Стокса, а последнее неравенство справедливо, поскольку   — калибровочная форма.

ПримерыПравить

СсылкиПравить

  • Bonan, Edmond (1965), Structure presque quaternale sur une variété différentiable, C. R. Acad. Sci. Paris Т. 261: 5445–5448 
  • Bonan, Edmond (1966), Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7), C. R. Acad. Sci. Paris Т. 262: 127–129 .
  • Berger, M. (1970), Quelques problemes de geometrie Riemannienne ou Deux variations sur les espaces symetriques compacts de rang un, Enseignement Math. Т. 16: 73–96 .
  • Brakke, Kenneth A. (1991), Minimal cones on hypercubes, J. Geom. Anal.: 329–338 (§6.5) .
  • Brakke, Kenneth A. (1993), Polyhedral minimal cones in R4 .
  • de Rham, Georges (1957–1958), On the Area of Complex Manifolds. Notes for the Seminar on Several Complex Variables .
  • Federer, Herbert (1965), Some theorems on integral currents, Transactions of the American Mathematical Society Т. 117: 43–67 .
  • Joyce, Dominic D. (2007), Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry .
  • Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations .
  • Kraines, Vivian Yoh (1965), Topology of quaternionic manifolds, Bull. Amer. Math. Soc. Т. 71,3, 1: 526–527 .
  • Lawlor, Gary (1998), Proving area minimization by directed slicing, Indiana U. Math. J. Т. 47: 1547–1592 .
  • Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), Curvy slicing proves that triple junctions locally minimize area, J. Diff. Geom. Т. 44: 514–528 .
  • Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), Paired calibrations applied to soap films, immiscible fluids, and surfaces or networks minimizing other norms, Pac. J. Math. Т. 166: 55–83 .
  • McLean, R. C. (1998), Deformations of calibrated submanifolds, Communications in Analysis and Geometry Т. 6: 705–747 .
  • Morgan, Frank (1988), Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians, and calibrations, Amer. Math. Monthly Т. 95: 813–822 .
  • Morgan, Frank (1990), Calibrations and new singularities in area-minimizing surfaces: a survey In "Variational Methods" (Proc. Conf. Paris, June 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron, and I. Ekeland, Eds.), Prog. Nonlinear Diff. Eqns. Applns Т. 4: 329–342 .
  • Morgan, Frank (2009), Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide .
  • Thi, Dao Trong (1977), Minimal real currents on compact Riemannian manifolds, Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat Т. 41: 807–820 .
  • Van, Le Hong (1990), Relative calibrations and the problem of stability of minimal surfaces, Lecture Notes in Mathematics Т. 1453: 245–262 .
  • Wirtinger, W. (1936), Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung, Monatshefte für Mathematik und Physik Т. 44: 343–365 (§6.5) .