Кратность критической точки

(перенаправлено с «Кратность (критической точки)»)

Кратность критической точки -гладкой функции размерность так называемой локальной алгебры градиентного отображения этой функции в рассматриваемой точке.

ОпределениеПравить

Пусть   -гладкая функция от   переменных  , имеющая   своей критической точкой. Соответствующее градиентное отображение   задается формулой   Введем следующие обозначения:

  •  алгебра формальных степенных рядов от переменных   с центром в  
  •  идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими  

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение   в алгебру  . Локальной алгеброй градиентного отображения в точке   называется факторалгебра   а её размерность   называется кратностью функции   в точке  

В случае, когда функции   имеют в точке   линейно независимые градиенты (это условие равносильно тому, что гессиан функции   отличен от нуля), кратность  , и критическая точка   называется невырожденной. Удобно также положить   в случае некритической точки.

Функции одной переменнойПравить

В этом случае  , и кратность   критической точки   может быть определена условием:

 

при этом значение   соответствует некритической точке. Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции   начинается с члена   то любой элемент   представим в виде  , где   и   — многочлен степени   задаваемый   коэффициентами, т.е.  

Теорема Тужрона в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности   существуют координаты, в которых функция имеет вид

 

Функции нескольких переменныхПравить

В этом случае важной характеристикой критической точки   является ранг   матрицы Гессе   в точке  .

  • Если  , то (по лемме Морса) в окрестности точки   функция   с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
 
  • Если  , то в окрестности точки   функция   с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
 
и, если кратность функции   равна  , то приводится к виду
 
  • Если  , то в окрестности точки   функция   с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
 
где ряд Тейлора функции   начинается с мономов степени  
  • Если кубическая часть функции   имеет три различных (вещественных или комплексных) корня, то   приводится к виду
 
  • Если кубическая часть функции   имеет два различных корня (один из них — кратный), то, при выполнении дополнительного условия общности положения, функция   приводится к виду
 

Теорема деленияПравить

Пусть   — гладкая функция от   переменной  , имеющая точку   своей критической точкой конечной кратности   по переменной  , т.е.

 

Тогда в окрестности точки   функция   представима в виде

 

где   и   — гладкие функции своих аргументов,   не обращается в нуль и   для всех  .

Впервые эта теорема была доказа Вейерштрассом для голоморфных функциий комплексных переменных[1] (теорема деления по Вейерштрассу). Приведённый выше вещественный аналог часто называют теоремой деления по Мальгранжу или по Мазеру.

Критические точки отображенийПравить

Кратность критической точки  -гладкого отображения     — это размерность локальной алгебры данного отображения.

Пусть   -гладкое отображение, имеющее   своей критической точкой. Отображение   задается набором   функций   от   переменных  .

Введем следующие обозначения:

  •  алгебра формальных степенных рядов от переменных   с центром в  
  •  идеал в алгебре гладких функций, порожденный образующими  

Сопоставляя каждой гладкой функции её формальный ряд Тейлора, мы получаем вложение   в алгебру  . Локальной алгеброй отображения в точке   называется факторалгебра   а её размерность   называется кратностью отображения   в точке  

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.
  • Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, — М.: Мир, 1977.
  • Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных, — М.: Мир, 1968.
  • Сборник статей: Особенности дифференцируемых отображений, — М.: Мир, 1968.
  • Паламодов В.П. О кратности голоморфного отображения, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 54–65.
  • Арнольд В. И. Замечание о подготовительной теореме Вейерштрасса, — Функц. анализ и его прил., 1:3 (1967), стр. 1–8.

ПримечанияПравить

  1. Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Functionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. — Mathematische Werke, V. II, Mayer und Müller, Berlin, 1895, 135–188.