Открыть главное меню

Лемма Морса — утверждение, описывающее поведение гладкой или аналитической вещественной функции в окрестности невырожденной критической точки. Один из простых, но важнейших результатов теории Морса; названа по имени разработчика теории и установившего данный результат в 1925 году американского математика Марстона Морса.

Содержание

ФормулировкаПравить

Пусть   — функция класса  , где  , имеющая точку   своей невырожденной критической точкой, то есть в этой точке дифференциал   обращается в нуль, а гессиан   отличен от нуля. Тогда в некоторой окрестности   точки   существует такая система  -гладких локальных координат (карта)   с началом в точке  , что для всех   имеет место равенство[1]

 .

При этом число  , определяемое сигнатурой квадратичной части ростка   в точке  , называется индексом критической точки   данной функции — частный случай общего понятия индекс Морса.

Вариации и обобщенияПравить

Теорема ТужронаПравить

В окрестности критической точки   конечной кратности   существует система координат, в которой гладкая функция   имеет вид многочлена   степени   (в качестве   можно взять многочлен Тейлора функции   в точке   в исходных координатах). В случае невырожденной критической точки кратность  , и теорема Тужрона превращается в лемму Морса[1][2].

Лемма Морса с параметрамиПравить

Пусть   — гладкая функция, имеющая начало координат   своей критической точкой, невырожденной по переменным  . Тогда в окрестности точки   существуют гладкие координаты, в которых

 

где   — некоторая гладкая функция. Это утверждение позволяет свести исследование особенности (критической точки) функции от   переменных к исследованию особенности функции от меньшего числа переменных (а именно, от числа переменных, равного корангу гессиана исходной функции)[1].

Доказательство этого утверждения может быть проведено индукцией по n с использованием леммы Адамара или другим способом[1].

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
  2. Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.
  • Зорич В. А. Математический анализ.
  • Хирш М. Дифференциальная топология.
  • Takens F. A note on sufficiency of jets. — Inventiones Mathematicae, vol. 13, no 3, 1971, pp. 225—231.
  • Самойленко А. М. Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.
  • Даринский Б. М., Сапронов Ю. И., Царёв С. Л. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов, — СМФН, 12, М., 2004, стр. 3-140.