Открыть главное меню
Линии уровня на торе.

Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработаная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках.

Одно из исторически первых применений методов дифференциальной топологии в анализе. Морс называл теорию «вариационным исчислением в целом» (англ. variation calculus in large), при этом начиная 1960-х годов с обобщением результатов на бесконечномерные многообразия теория Морса стала считаться подразделом глобального анализа — анализа на многообразиях[1]. В свою очередь, в работах Рауля Ботта второй половины 1950-х годов методы теории Морса применены к чисто топологическим задачам, и полученные результаты (прежде всего, теорема периодичности[en]) во многом послужили фундаментом для самостоятельного раздела математики — K-теории.

Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразии[⇨], теория Морса для геодезических на римановом многообразии, явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на банаховых многообразиях[en], естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории[2].

Теория критических точек на гладком многообразииПравить

Ключевой результат теории критических точек на гладком многообразии — лемма Морса, описывающая поведение вещественной функции на многообразии   в невырожденной критической точке  : согласно лемме, существует карта   для окрестности  , такая что   для всех   и на всей   имеет место:

 .

(Здесь   — индекс   в точке  .) Обобщение леммы на гильбертовы пространства — лемма Морса — Пале[en].

Другой важный результат связан с применением перестройки Морса: если множество   компактно, не пересекается с краем многообразия   и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса  , то   диффеоморфно многообразию, полученному из   приклеиванием ручки индекса  .

Каждой функции Морса   на гладком многообразии   без края (такой, что все множества   компактны) отвечает гомотопически эквивалентный многообразию   CW-комплекс, клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с критическими точками функции  , причём размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки. Важные следствия этого результата — неравенства Морса. Также данный результат предоставляет мощный инструмент для изучения топологии многообразий, причём важны не только индексы, но и количество критических точек. Например, если на замкнутом многообразии задана функция Морса  , имеющая в точности   критических точек (индексы которых неизвестны), то:

ПримечанияПравить

  1. Smale S. What is Global Anaysis? (англ.) // American Mathematical Monthly. — 1969. — Vol. 76, no. 1. — P. 4—9. — ISSN 0002-9890. — DOI:10.2307/2316777.
  2. Морса теория — статья из Математической энциклопедииМ. М. Постников, Ю. Б. Рудяк.

ЛитератураПравить