Нера́венство Ма́ркова в теории вероятностей даёт оценку вероятности, что неотрицательная случайная величина превзойдёт по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Хотя получаемая оценка обычно груба, она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно явным образом.
Формулировка
правитьПусть неотрицательная случайная величина определена на вероятностном пространстве , и её математическое ожидание конечно. Тогда
- ,
где .
Примеры
править1. Пусть — неотрицательная случайная величина. Тогда, взяв , получаем
- .
2. Пусть в среднем ученики опаздывают на 3 минуты, и нас интересует, какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 и более минут. Чтобы получить грубую оценку сверху, можно воспользоваться неравенством Маркова:
- .
Доказательство
правитьПусть неотрицательная случайная величина имеет плотность распределения , тогда для
- .
Связь с другими неравенствами
правитьЕсли в неравенство подставить вместо случайной величины случайную величину , то получим неравенство Чебышёва:
И наоборот, представив неотрицательную случайную величину в виде квадрата другой случайной величины , такой что , из неравенства Чебышева для получим неравенство Маркова для . Распределение случайной величины определяется так: , .
Если произвольная положительная неубывающая функция, то
- .
В частности при , для любых
- ,
где — производящая функция моментов. Минимизируя правую часть по , получим неравенство Чернова.
Неравенство Чернова дает лучшую оценку, чем неравенство Чебышёва, а неравенство Чебышёва — лучшую, чем неравенство Маркова. Это неудивительно, поскольку неравенство Маркова предполагает знание только первого момента случайной величины , Чебышёва — первого и второго, Чернова — всех моментов.