Линеаризация обратной связью

Линеариза́ция обра́тной свя́зью - способ приведения системы, абстрактно описываемой в виде к виду где - некоторое внешнее управляющее воздействие. При этом нелинейная система становится линейной, а внешнее управление предусмотрено для стабилизации и управления оставшейся линейной частью системы.

В качестве закона управления обычно применяют этот закон управления часто приводит к цели управления, если функция вычислима.

Линеаризация обратной связью скалярной системыПравить

Рассмотрим случай линеаризации обратной связью системы с одним входом и одним выходом. Похожие результаты могут быть получены для систем с несколькими входами и выходами. Пусть исходная система представлена в виде:

 
где   вектор состояния системы,
  вход,
  выход.

Найдём преобразование   преобразующее систему к нормальной форме:

 

теперь система представлена в форме вход-выход по отношению к новому входу   и выходу  . Для того, чтобы преобразованная система была эквивалентна исходной, преобразование должно быть диффеоморфизмом, то есть, быть не только однозначным но и гладким. Практически, преобразование может быть локальным диффеоморфизмом, но тогда результаты линеаризации сохраняются только в этой локальной области.

Производная ЛиПравить

Задача линеаризации обратной связью состоит в построении преобразованной системы, состояния которой — выход   и его первые   производных. Для достижения этой цели используем производную Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которая может быть вычислена с помощью правила дифференцирования сложной функции:

 

Теперь мы можем определить производную Ли от   через   как:

 

и, аналогично, производную Ли от   через   как:

 

Введя данные обозначения, определяем   как:

 

Следует отметить, что применение производных Ли удобно, когда мы берем многократные производные или относительно той же самой векторной области или относительно различной. Например:

 

и

 

Относительная степеньПравить

В линеаризуемой системе вектор состояния состоит из выходной переменной   и её первых   производных. Необходимо понять как вход   вводится в систему. Для этого введём понятие относительной степени. Система (1), (2) имеет относительную степень   в точке   если:

  в окрестности   для всех  :
 

Таким образом, относительной степенью системы по выводу[1]   можно считать то количество раз, которое нужно продифференцировать по времени выход   до момента, когда управление   появится в выходном сигнале   явно.

В то же время в теории линейных стационарных систем относительная степень — это разница между степенями полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Линеаризация обратной связьюПравить

Далее будем полагать, что относительная степень системы равна  . В этом случае, дифференцируя выход   раз, имеем:

 

где   означает  ю производную от  .

Учитывая, что относительная степень системы равна  , производные Ли формы   for   все равны нулю. Это означает, что вход   не вносит прямого вклада в любую из   первых производных.

Преобразование  , приводящее систему к нормальной форме, может быть определено с использованием первых   производных. В частности:

 

преобразует фазовые траектории из начальной системы координат   в новую  . Поскольку данное преобразование является диффеоморфизмом, гладкая траектория в исходном пространстве будет иметь единственный эквивалент в пространстве  , который также будет гладким. Данные траектории в пространстве   описывают новую систему:

 

Таким образом, закон управления обратной связи   является линейной передаточной функцией от   к  .

Получаемая в результате линеаризованная система:

 

представляет собой каскад из   интеграторов, и управление   может быть получено стандартными методами, используемыми в теории управления для линейных систем. В частности, закон управления   где вектор состояния   включает выход   и его первые   производные, что в результате даёт линейную систему

 

где

 

Таким образом, выбирая соответствующие  , можно произвольно располагать полюса замкнутой линеаризованной системы.

ЛитератураПравить

  • Андреев Ю. И. Управление конечномерными линейными объектами. — М.: Наука, 1976.
  • Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. — М.: Наука, 1979.
  • Иванов В. А., Ющенко А. С. Теория дискретных систем автоматического управления. — М.: Наука, 1983.
  • Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. Пер. с англ. / Под ред. Цыпкина Я. З. — М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1991.
  • Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. — М.: Наука, Физматлит, 1992.
  • Емельянов С. В., Коровин С. К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. — М.: Наука, 1997.
  • Isidori A. Nonlinear Control Systems, 3rd edition, Springer Verlag, London, 1995.
  • H. K. Khalil H. K. Nonlinear Systems, 3rd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, 2002.
  • Vidyasagar M. Nonlinear Systems Analysis, 2nd edition, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.
  • Friedland B. Advanced Control System Design, facsimile edition, Prentice Hall, Upper Saddle river, New Jersey, 1996.

ПримечанияПравить

См. такжеПравить