Линеаризация обратной связью

Линеариза́ция обра́тной свя́зью - способ приведения системы, абстрактно описываемой в виде $\Delta x=F(x)+G(x)*u$ к виду $\Delta x=v,$ где $v$ - некоторое внешнее управляющее воздействие. При этом нелинейная система становится линейной, а внешнее управление предусмотрено для стабилизации и управления оставшейся линейной частью системы.

В качестве закона управления обычно применяют $u=G(x)^{-1}*(v-F(x)),$ этот закон управления часто приводит к цели управления, если функция $G(x)^{-1}$ вычислима.

Линеаризация обратной связью скалярной системы

Рассмотрим случай линеаризации обратной связью системы с одним входом и одним выходом. Похожие результаты могут быть получены для систем с несколькими входами и выходами. Пусть исходная система представлена в виде:

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x)+g(x)u\qquad &(1)\\y&=h(x)\qquad \qquad \qquad &(2)\end{aligned}}$

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$ вектор состояния системы,

$u\in \mathbb {R}$ вход,

$y\in \mathbb {R}$ выход.

Найдём преобразование $z=T(x)$ преобразующее систему к нормальной форме:

$u=a(x)+b(x)v,$

теперь система представлена в форме вход-выход по отношению к новому входу $v\in \mathbb {R}$ и выходу $y$. Для того, чтобы преобразованная система была эквивалентна исходной, преобразование должно быть диффеоморфизмом, то есть, быть не только однозначным но и гладким. Практически, преобразование может быть локальным диффеоморфизмом, но тогда результаты линеаризации сохраняются только в этой локальной области.

Производная Ли

Задача линеаризации обратной связью состоит в построении преобразованной системы, состояния которой — выход $y$ и его первые $(n-1)$ производных. Для достижения этой цели используем производную Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которая может быть вычислена с помощью правила дифференцирования сложной функции:

${\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}.$

Теперь мы можем определить производную Ли от $h(x)$ через $f(x)$ как:

$L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x),$

и, аналогично, производную Ли от $h(x)$ через $g(x)$ как:

$L_{g}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x).$

Введя данные обозначения, определяем ${\dot {y}}$ как:

${\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u.$

Следует отметить, что применение производных Ли удобно, когда мы берем многократные производные или относительно той же самой векторной области или относительно различной. Например:

$L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}f(x)$

и

$L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}g(x).$

Относительная степень

В линеаризуемой системе вектор состояния состоит из выходной переменной $y$ и её первых $(n-1)$ производных. Необходимо понять как вход $u$ вводится в систему. Для этого введём понятие относительной степени. Система (1), (2) имеет относительную степень $r\in \mathbb {W}$ в точке $x_{0}$ если:

$L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x$ в окрестности $x_{0}$ для всех $k\leq r-2$:

$L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0$

Таким образом, относительной степенью системы по выводу $y$ можно считать то количество раз, которое нужно продифференцировать по времени выход $y$ до момента, когда управление $u$ появится в выходном сигнале $y$ явно.

В то же время в теории линейных стационарных систем относительная степень — это разница между степенями полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Линеаризация обратной связью

Далее будем полагать, что относительная степень системы равна $n$. В этом случае, дифференцируя выход $n$ раз, имеем:

${\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}},$

где $y^{(n)}$ означает $n$ю производную от $y$.

Учитывая, что относительная степень системы равна $n$, производные Ли формы $L_{g}L_{f}^{i}h(x)$ for $i=1,\dots ,n-2$ все равны нулю. Это означает, что вход $u$ не вносит прямого вклада в любую из $(n-1)$ первых производных.

Преобразование $T(x)$, приводящее систему к нормальной форме, может быть определено с использованием первых $(n-1)$ производных. В частности:

$z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}$

преобразует фазовые траектории из начальной системы координат $x$ в новую $z$. Поскольку данное преобразование является диффеоморфизмом, гладкая траектория в исходном пространстве будет иметь единственный эквивалент в пространстве $z$, который также будет гладким. Данные траектории в пространстве $z$ описывают новую систему:

${\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.$

Таким образом, закон управления обратной связи $u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)$ является линейной передаточной функцией от $v$ к $z_{1}=y$.

Получаемая в результате линеаризованная система:

${\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}$

представляет собой каскад из $n$ интеграторов, и управление $v$ может быть получено стандартными методами, используемыми в теории управления для линейных систем. В частности, закон управления $v=-Kz\qquad ,$ где вектор состояния $z$ включает выход $y$ и его первые $(n-1)$ производные, что в результате даёт линейную систему

${\dot {z}}=Az,$

где

$A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.$

Таким образом, выбирая соответствующие $k$, можно произвольно располагать полюса замкнутой линеаризованной системы.

См. также

• Нелинейное управление