Локальная дзета-функция

Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)

,

построенный на последовательности числа точек $N_{k}$ аффинного или проективного многообразия $V$ в конечных полях.

Локальная дзета-функция $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$ . Для неё существует аналог гипотезы Римана.

Определение

Пусть $V$ — аффинное или проективное многообразие над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ . Конгруэнц-дзета-функция многообразия $V$ над $\mathbb {F} _{q}$ определяется как формальный степенной ряд

Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right)

,

где $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!}}$ , а $N_{k}$ — число точек $V$ , лежащих в $\mathbb {F} _{q^{k}}$ . Числа $N_{k}$ конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.

Локальной дзета-функцией называется функция $\zeta (X,s)=Z(X,p^{-s})$ , здесь $p$ — характеристика поля $\mathbb {F} _{q}$ , $s\in \mathbb {C}$ — комплексная переменная.

Примеры

Возьмем уравнение $x=0$ , геометрически это означает, что $V$ — это просто точка. В этом случае все $N_{k}=1$ . Тогда

Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp(-\ln(1-T))={\frac {1}{1-T}}

Пусть $V$ — проективная прямая $0x=0$ над $F$ . Если $F=\mathbb {F} _{q^{k}}$ , то $V$ имеет $N_{k}=q^{k}+1$ точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k}}{k}}+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1-T)(1-qT)}}

Свойства

$Z(X,T)$ представляется в виде бесконечного произведения

Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},

где $x$ пробегает все замкнутые точки $X$ , а $\deg x$ — степень $x$ . В случае, если $X=V$ , которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности $x=[P]$ точек $P\in {\overline {V}}$ , где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем $F$ . Степень $x$ — это степень расширения поля $F$ , порождённого координатами $P$ . Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения $Z(X,T)$ будет равна производящей функции

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,

.

Если $E$ — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна

Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)}}

Если $(\forall k)N_{k}<CA^{k}$ , то $Z(T)$ сходится в открытом круге радиуса $R=A^{-1}$ .

Если $N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)}$ , причем $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ — соответствующие дзета-функции, то $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$ .

Если $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\alpha _{s}^{k}$ , то $Z(T)={\frac {(1-\alpha _{1}T)...(1-\alpha _{s}T)}{(1-\beta _{1}T)...(1-\beta _{t}T)}}$ .

Применение

L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом

L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p},p^{-s})}}

Гипотеза Римана для кривых над конечными полями

Если $C$ — проективная неособая кривая над $F$ , то можно показать, что

Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)}}\ ,

где $P(t)$ — многочлен степени $2g$ , где $g$ — род кривой $C$ . Представим

P(t)=\prod \limits _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,

тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что

|\omega _{i}|=q^{1/2}

Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней $\zeta (X,s)$ равна $1/2$ .

К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны ${\sqrt {q}}$ . Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.

Общие формулы для дзета-функции

Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1}}.

Здесь $X$ — отделимая схема конечного типа над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ , and $\operatorname {Frob} _{q}$ — геометрическое действие Фробениуса на $\ell$ -адической этальной когомологии с компактным носителем ${\overline {X}}$ . Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией $T$ .

Литература

Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.
Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М.: Мир, 1988. — 319 с.
Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.

См. также