Открыть главное меню

Локальная дзета-функция

Конгруэнц-дзета-функция — прототип для построения важной L-функции Хассе-Вейля, ряд вида

,

построенный на последовательности числа точек аффинного или проективного многообразия в конечных полях.

Локальная дзета-функция . Для неё существует аналог гипотезы Римана.

ОпределениеПравить

Пусть   — аффинное или проективное многообразие над конечным полем  . Конгруэнц-дзета-функция многообразия   над   определяется как формальный степенной ряд

 ,

где  , а   — число точек  , лежащих в  . Числа   конечны в силу конечности любого аффинного или проективного многообразия конечной размерности над конечным полем.

Локальной дзета-функцией называется функция  , здесь   — характеристика поля  ,   — комплексная переменная.

ПримерыПравить

Возьмем уравнение  , геометрически это означает, что   — это просто точка. В этом случае все  . Тогда

 

Пусть   — проективная прямая   над  . Если  , то   имеет   точку: все точки поля и бесконечную точку. Следовательно

 

СвойстваПравить

  •   представляется в виде бесконечного произведения
 

где   пробегает все замкнутые точки  , а   — степень  . В случае, если  , которое обсуждалось выше, то замкнутые точки — это классы эквивалентности   точек  , где две точки эквивалентны, если они сопряжены над полем  . Степень   — это степень расширения поля  , порождённого координатами  . Тогда логарифмическая производная бесконечного произведения   будет равна производящей функции

 .
  • Если   — эллиптическая кривая, то в этом случае дзета-функция равна
 
  • Если  , то   сходится в открытом круге радиуса  .
  • Если  , причем   — соответствующие дзета-функции, то  .
  • Если  , то  .

ПрименениеПравить

L-функция Хассе-Вейля определяется через конгруэнц-дзета-функцию следующим образом

 

Гипотеза Римана для кривых над конечными полямиПравить

Если   — проективная неособая кривая над  , то можно показать, что

 

где   — многочлен степени  , где   — род кривой  . Представим

 

тогда гипотеза Римана для кривых над конечными полями утверждает, что

 

Для локальной дзета-функции это утверждение равносильно тому, что вещественная часть корней   равна  .

К примеру, для эллиптической кривой получаем случай, когда существуют ровно 2 корня, и тогда можно показать, что абсолютные значения корня равны  . Этот случай эквивалентен теореме Хассе об оценке числа точек кривой в конечном поле.

Общие формулы для дзета-функцииПравить

Из формулы следа Лефшеца для морфизма Фробениуса получается, что

 

Здесь   — отделимая схема конечного типа над конечным полем  , and   — геометрическое действие Фробениуса на  -адической этальной когомологии с компактным носителем  . Это показывает, что данная дзета-функция является рациональной функцией  .

ЛитератураПравить

  • Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 428 с.
  • Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы. — М.: Мир, 1988. — 319 с.
  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981. — 597 с.

См. такжеПравить