Аффинное многообразие

Аффинное многообразие — гладкое многообразие, обладающее атласом, в котором все отображения склейки являются аффинным. Эквивалентно, многообразие является аффинным, если оно допускает плоскую связность без кручения.

Связанные определения

• Аффинное многообразие называется полным, если его универсальное накрытие гомеоморфно ${\mathbb {R} }^{n}$.

• Фундаментальная группа компактного полного плоского аффинного многообразия называется аффинной кристаллографической группой. Классификация аффинных кристаллографических групп далека от решения.

Примеры

• $\mathbb {S} ^{n}\times \mathbb {S} ^{1}$ является фактором $\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}$ по группе, образованной гомотетией $x\mapsto 2\cdot x$, следовательно, является компактным не полным аффинным многообразием.

Гипотезы

В геометрии аффинных многообразий есть несколько древних гипотез. Большинство из них доказано в малой размерности и некоторых других особых случаях.

• Гипотеза Маркуса (1962), утверждает, что компактное аффинное многообразие является полным тогда и только тогда, когда оно имеет параллельную форму объёма.
• Гипотеза Ауслендера (1964), утверждает, что любая аффинная кристаллографическая группа содержит полициклическую подгруппу конечного индекса.
• Гипотеза Черна (1955), утверждает, что эйлерова характеристика любого компактного аффинного многообразия равна нулю.