Род поверхности

Род поверхности — топологическая характеристика замкнутой поверхности $\Sigma$. Определяется как максимальное число замкнутых непересекающихся кривых не разделяющих поверхность на части.

Поверхность рода 0

Поверхность рода 1

Поверхность рода 2

Поверхность рода 3

Примеры

• Сфера имеет род 0.
• Тор имеет род 1.
• Проективная плоскость $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$ имеет род 1.

Свойства

Ориентируемые поверхности

• Для ориентируемых поверхностей род равен числу ручек.

Эквивалентно, $\Sigma$ имеет род $g$, если $\Sigma$ гомеоморфна связной сумме сферы ($S^{2}$) и $g$ торов $T^{2}$:

$\Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {T^{2}\#\ldots \#T^{2}} _{g})$.

• Род $g$ ориентированной поверхности $\Sigma$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику $\chi (\Sigma )$:

  $g={\frac {2-\chi (\Sigma )}{2}}$.

• Род поверхности $\Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}$, являющейся замыканием множества нулей $\{P(x,\;y)=0\}$ многочлена $P(x,\;y)$ степени $d$ общего положения, выражается через его степень как:

  $g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}.$

• Род гиперэллиптической поверхности $\Sigma \subset \mathbb {C} P^{2}$, являющейся замыканием множества:

  $\{(x,\;y)\mid y^{2}=P(x)\}$.

Для свободного от квадратов многочлена $P(x)$ степени $d$, выражается через его степень как:

$g=\left\lceil {\frac {d-1}{2}}\right\rceil$.

Неориентируемые поверхности

• Для неориентируемых поверхностей род равен числу вклеенных в неё лент Мёбиуса

Эквивалентно, $\Sigma$ имеет род $g$, если $\Sigma$ гомеоморфна связной сумме сферы ($S^{2}$) и $g$ проективных плоскостей $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}$:

$\Sigma \sim S^{2}\#(\underbrace {\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}\#\dots \#\mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}} _{g})$.

• Род $g$ неориентируемой поверхности $\Sigma$ может быть вычислен через её эйлерову характеристику $\chi (\Sigma )$:

  $g=2-\chi (\Sigma )$.

См. также

• Род многообразия