CKM-ма́трица, ма́трица Каби́ббо — Кобая́си — Маска́вы (ККМ-матрица, матрица смешивания кварков, иногда раньше называлась KM-матрица) в Стандартной модели физики элементарных частиц — унитарная матрица, которая содержит информацию о силе слабых взаимодействий, изменяющих аромат. Технически, она определяет преобразование между двумя базисами квантовых состояний: состояниями свободно движущихся кварков (то есть их массовыми состояниями) и состояниями кварков, участвующих в слабых взаимодействиях. Она важна также для понимания нарушения CP-симметрии. Точное математическое определение этой матрицы дано в статье по основам Стандартной модели. Эта матрица была предложена для трёх поколений кварков японскими физиками Макото Кобаяси и Тосихидэ Маскава, которые добавили одно поколение к матрице, ранее предложенной Николой Кабиббо.

Матрица

править
 

Слева мы видим CKM-матрицу вместе с вектором сильных собственных состояний кварков, а справа имеем слабые собственные состояния кварков. ККМ-матрица описывает вероятность перехода от одного кварка q к другому кварку q' . Эта вероятность пропорциональна  

Величины значений в матрице были установлены экспериментально и равны приблизительно[1]:

 

Таким образом, CKM-матрица довольно близка к единичной матрице.

Подсчёт

править

Чтобы идти дальше, необходимо подсчитать количество параметров в этой матрице V, которые проявляются в экспериментах и, следовательно, физически важны. Если есть N поколений кварков (2N ароматов), то

  1. комплексная матрица N×N содержит 2N² действительных чисел.
  2. Ограничивающее условие унитарности k VikV*jk = δij. Следовательно, для диагональных компонент (i = j) существует N ограничений, а для остающихся компонент — N(N − 1). Количество независимых действительных чисел в унитарной матрице равно N².
  3. Одна фаза может быть поглощена каждым кварковым полем. Общая фаза ненаблюдаема. Следовательно, количество независимых чисел уменьшается на 2N − 1, то есть общее количество свободных переменных равно (N² − 2N + 1) = (N − 1)².
  4. Из них N(N − 1)/2 — углы вращения, называемые кварковыми углами смешивания.
  5. Оставшиеся (N − 1)(N − 2)/2 являются комплексными фазами, вызывающими нарушение CP-инвариантности.

Если число поколений кварков N = 2 (исторически такой была первая версия CKM-матрицы, когда были известны только два поколения), есть только один параметр — угол смешивания между двумя поколениями кварков. Он называется угол Кабиббо в честь Николы Кабиббо.

В Стандартной модели N = 3, следовательно, есть три угла смешивания и одна комплексная фаза, нарушающая CP-симметрию.

Наблюдения и предсказания

править
 
Диаграмма, изображающая переходы между кварками посредством слабого взаимодействия.

Идея Кабиббо появилась из-за необходимости объяснения двух наблюдаемых явлений:

  1. переходы u ↔ d и e ↔ νe, μ ↔ νμ имели похожие амплитуды.
  2. переходы с изменением странности ΔS = 1 имели амплитуды, равные 1/4 от амплитуд переходов без изменения странности (ΔS = 0).

Решение Кабиббо состояло в постулировании универсальности слабых переходов, чтобы решить проблему 1, и угла смешивания θc (теперь называемого углом Кабиббо) между d- и s-кварками, чтобы решить проблему 2.

Для двух поколений кварков нет нарушающей CP-симметрию фазы, как было показано выше. Поскольку нарушение CP-симметрии наблюдалось в распадах нейтральных каонов уже в 1964 году, появление немногим позже Стандартной модели было ясным сигналом о третьем поколении кварков, как было указано в 1973 году Кобаяси и Маскавой. Открытие b-кварка в Фермилабе (группой Леона Ледермана) в 1977 году немедленно привело к началу поисков ещё одного кварка третьего поколения — t-кварка.

Универсальность слабых переходов

править

Ограничение по унитарности CKM-матрицы для диагональных компонент может быть записано как

 

для всех поколений i. Это предполагает, что сумма всех связей кварка u-типа со всеми кварками d-типа одинакова для всех поколений. Никола Кабиббо в 1967 году назвал это соотношение слабой универсальностью. Теоретически, это следствие того факта, что все дублеты SU(2) взаимодействуют с векторными бозонами слабых взаимодействий с одинаковой константой связи. Это подтверждено во многих экспериментах.

Треугольники унитарности

править

Оставшиеся ограничения по унитарности ККМ-матрицы могут быть записаны в форме

 

Для любых фиксированных и различных i и j это ограничение накладывается на три комплексных числа, одно для каждого k, что означает, что эти числа являются вершинами треугольника на комплексной плоскости. Существует шесть вариантов i и j, поэтому и шесть таких треугольников, каждый из которых называется треугольником унитарности. Их формы могут быть очень разными, но они все имеют одинаковую площадь, которую можно отнести к нарушающей CP-симметрию фазе. Площадь исчезает для специфических параметров в Стандартной модели, для которых нет нарушения CP-симметрии. Ориентация треугольников зависит от фаз кварковых полей.

Поскольку как три стороны, как и три угла каждого треугольника могут быть измерены в прямых экспериментах, проводится серия тестов для проверки замкнутости треугольников. Это задача для таких экспериментов, как японский BELLE, калифорнийский BaBar и эксперимент LHCb проекта LHC.

Параметризации

править

Для полного задания CKM-матрицы требуется четыре независимых параметра. Было предложено множество параметризаций, но наиболее популярны три.

KM-параметры

править

Изначально параметризация Кобаяси и Маскавы использовала три угла (θ1, θ2, θ3) и фазу CP-нарушения (δ).

 

где θ1 — угол Кабиббо, ci и si — соответственно косинус и синус угла θi.

«Стандартные» параметры

править

«Стандартная» параметризация CKM-матрицы использует три угла Эйлера (θ12, θ23, θ13) и фазу CP-нарушения (δ)[2]. Смешивание между поколениями кварков i и j исчезает, если угол смешивания θij стремится к нулю. Здесь θ12 — угол Кабиббо, cij и sij — соответственно косинус и синус угла θij.

 

На текущий момент наиболее точные значения стандартных параметров[3][4]:

θ12 = 13,04 ± 0,05°,
θ13 = 0,201 ± 0,011°,
θ23 = 2,38 ± 0,06°,
δ13 = 1,20 ± 0,08 радиана.

Параметры Вольфенштейна

править

Третья параметризация CKM-матрицы, введёна Линкольном Вольфенштейном, использует параметры λ, A, ρ и η[5]. Параметры Вольфенштейна являются числами порядка единицы и связаны со «стандартной» параметризацией следующими соотношениями:

λ = s12,
Aλ2 = s23,
Aλ3(ρ − iη) = s13eiδ.

Параметризация Вольфенштейна CKM-матрицы является аппроксимацией «стандартной» параметризации. Если ограничиться членами разложения до порядка λ3, она может быть представлена следующим образом:

 

CP-нарушение может быть определено измерением ρ − iη.

Используя значения из предыдущего подраздела, можно получить следующие значения параметров Вольфенштейна[4]:

λ = 0,2257+0,0009
−0,0010
,
A = 0,814+0,021
−0,022
,
ρ = 0,135+0,031
−0,016
,
η = 0,349+0,015
−0,017
.

См. также

править

Примечания

править
  1. Beringer J. (Particle Data Group) et al. Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix (англ.) // Physical Review D : journal. — 2012. — Vol. 80, no. 1. — P. 1—1526 [162]. — doi:10.1103/PhysRevD.86.010001. — Bibcode2012PhRvD..86a0001B. Архивировано 14 июля 2018 года.
  2. L.L. Chau and W.-Y. Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1984. — Vol. 53, no. 19. — P. 1802. — doi:10.1103/PhysRevLett.53.1802. — Bibcode1984PhRvL..53.1802C.
  3. Значения получены из значений параметров Вольфенштейна из издания Review of Particle Physics 2008 года.
  4. 1 2 Amsler C. (Particle Data Group) et al. Review of Particles Physics: The CKM Quark-Mixing Matrix (англ.) // Physics Letters B[англ.] : journal. — 2008. — Vol. 667. — P. 1—1340. — doi:10.1016/j.physletb.2008.07.018. — Bibcode2008PhLB..667....1A. Архивировано 21 декабря 2018 года.
  5. L. Wolfenstein. Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix (англ.) // Physical Review Letters : journal. — 1983. — Vol. 51, no. 21. — P. 1945. — doi:10.1103/PhysRevLett.51.1945. — Bibcode1983PhRvL..51.1945W.

Ссылки

править
  • Томилин К. А. Фундаментальные физические постоянные в историческом и методологическом аспектах. М.: Физматлит, 2006, 368 с, страница 153. (djvu)
  • Griffiths, David J. Introduction to Elementary Particles (неопр.). — Wiley, John & Sons, Inc, 1987.
  • Povh, Bogdan et al., (1995). Particles and Nuclei: An Introduction to the Physical Concepts. New York: Springer. ISBN 3-540-20168-8
  • CP violation, by I.I. Bigi and A.I. Sanda (Cambridge University Press, 2000) [ISBN 0-521-44349-0]
  • Particle Data Group on CP violation
  • The Babar experiment at SLAC and the BELLE experiment at KEK Japan
  • N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 531.
  • M. Kobayashi and K. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49 (1973) 652. (недоступная ссылка)
  • Новосибирские физики опровергнут треугольность идеального треугольника KEK