Открыть главное меню

Метод Гаусса — Жордана (метод полного исключения неизвестных) — метод, который используется для решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения координат вектора в заданном базисе или отыскания ранга матрицы. Метод является модификацией метода Гаусса. Назван в честь К. Ф. Гаусса и немецкого геодезиста и математика Вильгельма Йордана[1].

АлгоритмПравить

  1. Выбирают первый слева столбец матрицы, в котором есть хоть одно отличное от нуля значение.
  2. Если самое верхнее число в этом столбце ноль, то меняют всю первую строку матрицы с другой строкой матрицы, где в этой колонке нет нуля.
  3. Все элементы первой строки делят на верхний элемент выбранного столбца.
  4. Из оставшихся строк вычитают первую строку, умноженную на первый элемент соответствующей строки, с целью получить первым элементом каждой строки (кроме первой) ноль.
  5. Далее проводят такую же процедуру с матрицей, получающейся из исходной матрицы после вычёркивания первой строки и первого столбца.
  6. После повторения этой процедуры   раз получают верхнюю треугольную матрицу
  7. Вычитают из предпоследней строки последнюю строку, умноженную на соответствующий коэффициент, с тем, чтобы в предпоследней строке осталась только 1 на главной диагонали.
  8. Повторяют предыдущий шаг для последующих строк. В итоге получают единичную матрицу и решение на месте свободного вектора (с ним необходимо проводить все те же преобразования).

Расширенный алгоритм для нахождения обратной матрицыПравить

Пусть дано:

 

Прямой ход (алгоритм образования нулей под главной диагональю)Править

  • Разделим первую строку матрицы А на   получим:  , j — столбец матрицы А.
  • Повторяем действия для матрицы I, по формуле:  , s — столбец матрицы I
Получим:
 
  • Будем образовывать 0 в первом столбце :  
  • Повторяем действия для матрицы І, по формулам :  
Получим:
 
  • продолжаем выполнять аналогичные операции, используя формулы :  
при условии, что  
  • Повторяем действия для матрицы І, по формулам :  
при условии, что  
Получим :
 

Обратный ход (алгоритм образования нулей над главной диагональю)Править

Используем формулу:  , при условии, что  

Повторяем действия для матрицы І, по формуле :  , при условии, что  

Окончательно получаем :

 

ПримерПравить

Для решения следующей системы уравнений:

 

Запишем её в виде матрицы 3×4, где последний столбец является свободным членом:

 

Проведём следующие действия:

  • К строке 2 добавим: −4 × Строку 1.
  • К строке 3 добавим: −9 × Строку 1.

Получим:

 
  • К строке 3 добавим: −3 × Строку 2.
  • Строку 2 делим на −2
 
  • К строке 1 добавим: −1 × Строку 3.
  • К строке 2 добавим: −3/2 × Строку 3.
 
  • К строке 1 добавим: −1 × Строку 2.
 

В правом столбце получаем решение:

  .

ПримечанияПравить

  1. Транскрипция фамилии Йордан как «Жордан» является ошибочной, но она общепринята и встречается в большинстве русскоязычных источников.

ЛитератураПравить

  • Lipschutz, Seymour, and Lipson, Mark. «Schaum’s Outlines: Linear Algebra». Tata McGraw-hill edition. Delhi 2001. pp. 69-80.

СсылкиПравить

Примеры реализации алгоритма: