Множество Мейера

Множество Мейера или почти решётка – это относительно плотное множество точек в евклидовой плоскости или евклидовом пространстве большей размерности, такое что его разность Минковского с собой равномерно дискретна. Множества Мейера имеют несколько эквивалентных описаний и названы именем Ива Мейера, который ввёл их и начал изучать в контексте диофантовых приближений. В современное время множества Мейера больше известны как математическая модель квазикристаллов, однако работа Мейера предваряла открытие квазикристаллов более чем на десятилетие и полностью была вдохновлена вопросами теории чисел^[1]^[2].

Определение и описание

Подмножество X метрического пространства относительно плотно, если существует число r, такое что для всех точек множества X расстояние до остальных точек X не превосходит r. Подмножество равномерно дискретно, если существует число $\varepsilon$ , такое что никакие две точки X не находятся ближе друг от друга, чем на расстоянии $\varepsilon$ . Когда множество относительно плотно и, одновременно, равномерно дискретно, оно называется множеством Делоне. Если X является подмножеством векторного пространства, его разность Минковского $X-X$ – это множество $\{x-y\mid x,y\in X\}$ различных пар элементов множества X^[3].

С этими определениями множество Мейера можно определить как относительно плотное множество X, для которого $X-X$ равномерно дискретно. Эквивалентно, это множество Делоне, для которого $X-X$ является множеством Делоне^[1], или множество Делоне X, для которого существует конечное множество F, такое что $X-X\subset X+F$ ^[4].

Некоторые дополнительные эквивалентные описания используют множество

X^{\varepsilon }=\{y\mid |x\cdot y-1|\leqslant \varepsilon {\text{ для всех }}x\in X\},

определённое для данного множества X и числа $\varepsilon$ и аппроксимирующее (при стремлению $\varepsilon$ к нулю) определение обратной решётки. Относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда

Для любого $\varepsilon >0,X^{\varepsilon }$ относительно плотно, или, эквивалентно,
Существует $\varepsilon$ ( $0<\varepsilon <1/2$ ), для которого $X^{\varepsilon }$ относительно плотно^[1].

Характер замкнутого по сложению подмножества векторного пространства – это функция, отображающая множество в единичную окружность на плоскости комплексных чисел таким образом, что сумма любых двух элементов отображается в произведение их образов. Множество X является гармоничным множеством^[англ.], если для любого характера $\chi$ на аддитивном замыкании X и любого $\varepsilon >0$ существует непрерывный характер на всём пространстве, $\varepsilon$ -аппроксимирующий $\chi$ . Тогда относительно плотное множество X является множеством Мейера тогда и только тогда, когда оно гармонично^[1].

Примеры

Множествами Мейера являются

Точки любой решётки
Вершины плиток ромбической мозаики Пенроуза ^[5].
Сумма Минковского другого множества Мейера с любым непустым конечным множеством ^[4]
Любое относительно плотное подмножество другого множества Мейера ^[6].

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ Moody, 1997, с. 403–441.
↑ Lagarias, 1996, с. 365–376.
↑ Муди даёт другие определения для относительной плотности и равномерной дискретности, специфичные для локально компактных групп, но замечает, что эти определения совпадают с обычными определениями для вещественных векторных пространств.
↑ ¹ ² Moody, 1997, с. Section 7.
↑ Moody, 1997, с. Section 3.2.
↑ Moody, 1997, с. Corollary 6.7.

Литература

Robert V. Moody. Meyer sets and their duals // The Mathematics of Long-Range Aperiodic Order (Waterloo, ON, 1995). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. — Т. 489. — (NATO Advanced Science Institutes Series C: Mathematical and Physical Sciences).
Lagarias J. C. Meyer's concept of quasicrystal and quasiregular sets // Communications in Mathematical Physics. — 1996. — Т. 179, вып. 2. — doi:10.1007/bf02102593.

[_d9e6ddbc02436cbc-1] ¹ ² ³ ⁴ Moody, 1997, с. 403–441.

[_6e50bfef4f69aed3-2] Lagarias, 1996, с. 365–376.

[MD-3] Муди даёт другие определения для относительной плотности и равномерной дискретности, специфичные для локально компактных групп, но замечает, что эти определения совпадают с обычными определениями для вещественных векторных пространств.

[_4566abf87fff3423-4] ¹ ² Moody, 1997, с. Section 7.

[_cb1c944a336c2fe3-5] Moody, 1997, с. Section 3.2.

[_1154c951dbf92091-6] Moody, 1997, с. Corollary 6.7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]