Множество сумм

Множество сумм — концепт аддитивной комбинаторики, соответствующий сумме Минковского конечных множеств.

Иллюстрация определения множества сумм на примере нескольких 4-элементных множеств $A$ с разными размерами $A+A$. Одинаковым цветом обозначены разные значения. В таблице первыми выделяются цветом значения с несколькими различными представлениями.

Определение

Пусть ${\mbox{G}}$ — любая группа, $A,B\subset {\mbox{G}}$ — конечные множества. Тогда их суммой называется множество

$A+B:=\{a+b:a\in A,\ b\in B\}$

Для одного множества $A$ его множеством сумм называют $A+A$. Кратные суммы обозначаются сокращённо

$kA=A+\dots +A=\{a_{1}+\dots +a_{k}:a_{i}\in A,\ i=1,\dots ,k\}$

Связанные определения

Аналогично определяются множество разностей, множество произведений, множество частных и тому подобные для любой операции. Например, множество произведений определяется так:

$A\times B=\{ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}$

Величину $K(A)={\frac {|A+A|}{|A|}}$ называют константой удвоения, а про множества, у которых она ограничена, говорят, что они имеют малое удвоение. В связи с теоремой сумм-произведений часто рассматривают множества с малым мультипликативным удвоением, то есть для которых ограничена величина ${\frac {|AA|}{|A|}}$.

Свойства

Мощность множества сумм $A+B$ связана с аддитивной энергией $E(A,B)$ неравенством $|A+B|E(A,B)\leq |A|^{2}|B|^{2}$, поэтому последняя часто используется для её оценки.

Суммы одного множества

Теорема Фреймана рассматривает размер $A+A$ как показатель структурированности множества (если константа удвоения ограничена, то структура $A$ похожа на обобщённую арифметическую прогрессию).

Теорема сумм-произведений связывает размер множества сумм и множества произведений. Основная гипотеза гласит, что $\max\{|A+A|,\ |AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}$ для $A\subset \mathbb {R}$. Сочетание суммирования и произведения в одном выражении привело к возникновению арифметической комбинаторики.

Изучается влияние поэлементного применения выпуклой функции к суммируемым множествам на размер множества сумм. Для выпуклых последовательностей известны нижние оценки на $|A+A|$ и $|A-A|$. Более общо, для выпуклой функции $f$ и множества $f(A):=\{f(a):a\in A\}$ задачу оценки $\max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}$ и некоторые похожие иногда рассматривают как обобщение теоремы сумм-произведений, поскольку $AA=\exp \left({\log A+\log A}\right)$ и поэтому $|AA|=|\log A+\log A|$, а функция $\exp$ выпукла.

Суммы нескольких множеств

Неравенство Плюннеке — Ружа утверждает, что разрастание (увеличение размера относительно складываемых множеств) кратных сумм $|kA+lB|,\ k,l\in {\mathbb {N} }$ в среднем (относительно $k,l$) не сильно превышает разрастание $|A+B|$.

Неравенство треугольника Ружа связывает размеры $A-B,\ B-C,\ C-A$ для любых множеств $A,B,C$ и показывает, что нормализованный размер разности множеств ${\frac {|A-B|}{\sqrt {|A||B|}}}$ можно рассматривать как псевдометрику, отражающую близость структуры этих множеств.

Структура

Один из фундаментальных вопросов аддитивной комбинаторики: какую структуру могут или должны иметь множества сумм. По состоянию на начало 2020 года не известно какого-либо нетривиально быстрого алгоритма, позволяющего определить, представимо ли заданное большое множество в виде $A+B,\ (|A|,|B|\geq 2)$ или $A+A,\ |A|\geq 2$. Однако известны некоторые частные результаты о структуре множеств сумм.

Например, множества сумм вещественных чисел не могут иметь малого мультипликативного удвоения, то есть если $A=B+C$, то $|AA|\geq |A|^{1+c}$ для некоторого $c>0$. А в группе вычетов по простому модулю $p$ есть лишь $2^{\left({{\frac {1}{2}}+o(1)}\right)p}$ множеств, представимых в виде $A+B,\ |A|,|B|\to \infty$.

Известно, что если $A,B$ — плотные множества натуральных чисел, то $A+B$ содержит длинные арифметические прогрессии. Тем не менее, в ${\mathbb {Z} }_{p}$ известны примеры плотных множеств с сильной верхней оценкой на длину таких прогрессий.

См. также

• Сумма Минковского
• Теорема сумм-произведений
• Теорема Фреймана
• Теорема Шнирельмана

Литература

• Фрейман, Григорий Абелевич. Начала структурной теории множеств (рус.). — Типография "Татполиграф". — 1966.

• T. Tao, Van H. Vu. Additive combinatorics (англ.). — Cambridge University Press. — 2006. — ISBN 0-511-24530-0.

• И. Д. Шкредов. Несколько новых результатов о старших энергиях (рус.) // Труды Московского математического общества. — 2013. — Т. 74, вып. 1. — С. 35—73.

• Paul Erdős, Endre Szemerédi. On sums and products of integers (англ.) // Studies in Pure Mathematics. — 1983. — P. 213—218.

• George Shakan. On higher energy decompositions and the sum-product phenomenon (англ.) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 2019. — Vol. 167, iss. 3. — P. 599—617.

• Ilya D. Shkredov, Dmitrii Zhelezov. On additive bases of sets with small product set (англ.). — 2016. — arXiv:math/1606.02320.

• B. Green. Arithmetic progressions in sumsets (англ.) // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2002. — Vol. 12. — P. 584—597.

• Ernie Croot, Izabella Laba, Olof Sisask. Arithmetic Progressions in Sumsets and $L^{p}$-Almost-Periodicity (англ.) // Combinatorics, Probability and Computing. — 2013. — Vol. 22, iss. 3. — P. 351—365.

• N. Alon, A. Granville, A. Ubis. The number of sumsets in a finite field (англ.) // Bulletin of the London Mathematical Society. — 2010. — Vol. 42, iss. 4.

• Imre Z. Ruzsa. Arithmetic progressions in sumsets (англ.) // Acta Arithmetica. — 1991. — Vol. 60, iss. 2. — P. 191—202.

• J. Bourgain. On arithmetic progressions in sums of sets of integers (англ.) // A Tribute to Paul Erdos. — 1990. — P. 105—110.

• Ernie Croot, Imre Z. Ruzsa, Tomasz Schoen. Arithmetic progressions in sparse sumsets (англ.). — 2007.

• I. D. Shkredov, T. Schoen. On sumsets of convex sets (англ.) // Combinatorics, Probability and Computing. — 2011. — P. 793—798. — arXiv:math/1105.3542.

• G. Elekes, M. B. Nathanson, I. Z. Ruzsa. Convexity and Sumsets (англ.) // Journal of Number Theory. — 2000. — Vol. 83, iss. 2. — P. 194—201.