Открыть главное меню

Норма́льное расшире́ние — алгебраическое расширение поля для которого каждый неприводимый многочлен над , имеющий хотя бы один корень в , разлагается в на линейные множители.

Равносильное определение: Если , где  — алгебраическое замыкание поля , то нормально, если любой изоморфизм поля в алгебраическое замыкание над является автоморфизмом поля .

Нормальное расширение как поле разложенияПравить

Всякое расширение   является нормальным тогда и только тогда, когда   является полем разложения некоторого множества многочленов из  .

Нормальные расширения в соответствии ГалуаПравить

Если   — расширение Галуа поля  , а   — какое-нибудь промежуточное подполе  , то группа Галуа   по определению состоит из всех автоморфизмов  , оставляющих элементы   неподвижными. Если   — какой-нибудь автоморфизм полной группы Галуа  , отображающий   на   то, очевидно, что

 

Поэтому расширение   нормально тогда и только тогда, когда подгруппа   является нормальной подгруппой в   (отсюда и терминология).

ЛитератураПравить