Обсуждение:Функция (математика)

соответствие двух множеств

А если трёх и более, то это уже не функция? Спасибо. 188.254.90.51 21:09, 15 февраля 2017 (UTC)

• Функция - это упорядоченная тройка непустых множеств, в которой третье множество есть функциональное соответствие между первым и вторым множествами. Это русское предложение приобретает точный смысл, если записать его на языке теории множеств:

  Функция $=\langle X,Y,Z\rangle \land \forall z(z\in \{X,Y,Z\}\rightarrow z\neq \varnothing )\ \land$

  $\land \ Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in X\times Y\land P[\langle x,y\rangle ]\}\land \forall x(x\in X\rightarrow \exists !y(y\in Y\land \langle x,y\rangle \in Z)),$

  где:

  $P[\langle x,y\rangle ]$ высказывание об упорядоченной паре $\langle x,y\rangle$, трактуемое как "правило",

  $\exists !y(y\in Y\land \langle x,y\rangle \in Z)\Leftrightarrow \exists y\forall z(z\in \{y\}\leftrightarrow z\in Y\land \langle x,z\rangle \in Z).$

  Пример простейшей функции.

  Если $Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0\}\times \{a\}\land \langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle \}=\{\langle 0,a\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0\},\{a\},\{\langle 0,a\rangle \}\rangle$ является функцией, а высказывание $\langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle$ интерпретируется как "правило".

  Примеры простейших нефункций.

  Если $Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0\}\times \{a\}\land \langle x,y\rangle \neq \langle x,y\rangle \}=\varnothing$, тогда тройка $\langle \{0\},\{a\},\varnothing \rangle$ не является функцией.

  Если $Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0,1\}\times \{a\}\land \langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle \}=\{\langle 0,a\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0,1\},\{a\},\{\langle 0,a\rangle \}\rangle$ не является функцией.

  Если $Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0\}\times \{a,b\}\land (\langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle \lor \langle x,y\rangle =\langle 0,b\rangle )\}=\{\langle 0,a\rangle ,\langle 0,b\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0\},\{a,b\},\{\langle 0,a\rangle ,\langle 0,b\rangle \}\rangle$ не является функцией.

  Если $Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0,1\}\times \{a,b\}\land (\langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle \lor \langle x,y\rangle =\langle 0,b\rangle )\}=\{\langle 0,a\rangle ,\langle 0,b\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0,1\},\{a,b\},\{\langle 0,a\rangle ,\langle 0,b\rangle \}\rangle$ не является функцией.

  Дополнительные пояснения

Соответствие - это множество однородных упорядоченных пар. Согласно аксиоме выделения теории ZFC, соответствие можно представить в виде множества $\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in X\times Y\land P[\langle x,y\rangle ]\}$

Примером множества неоднородных пар является множество $\{\langle 0,a\rangle ,\langle$"Выпала решка.",$\ {1 \over 2}\rangle \}$

Каждое соответствие является подмножеством прямого произведения $X\times Y$.

• Определение функции, которая имеет имя (например, имя $f$), можно записать в виде:

$f=\langle X,Y,Z\rangle \land \forall z(z\in \{X,Y,Z\}\rightarrow z\neq \varnothing )\ \land$

$\land \ Z=\{\langle x,f(x)\rangle |\langle x,f(x)\rangle \in X\times Y\land P[\langle x,f(x)\rangle ]\}\land \forall x(x\in X\rightarrow f(x)\in Y\land \langle x,f(x)\rangle \in Z))$

В настоящее время приведённое определение функции принято записывать в виде $f\colon X\mapsto Y$.

• Определение функции, которая не имеет имени, можно записать в виде:

безымянная функция $=\langle X,Y,Z\rangle \land \forall z(z\in \{X,Y,Z\}\rightarrow z\neq \varnothing )\ \land$

$\land \ Z=\{\langle x,y(x)\rangle |\langle x,y(x)\rangle \in X\times Y\land P[\langle x,y(x)\rangle ]\}\land \forall x(x\in X\rightarrow y(x)\in Y\land \langle x,y(x)\rangle \in Z))$

В настоящее время приведённое определение безымянной функции принято записывать в виде $X\mapsto Y$.

• Первый компонент тройки-функции $\langle X,Y,Z\rangle$ называется областью определения функции (областью задания функции, доменом функции). Если функция имеет имя (например, имя g), тогда первому компоненту X указанной тройки можно присвоить название Dom g. Если же функция безымянна, тогда первому компоненту можно присвоить название Dom.
• Второй компонент тройки-функции $\langle X,Y,Z\rangle$ называется областью значений функции (кодоменом функции). Если функция имеет имя (например, имя g), тогда второму компоненту Y указанной тройки можно присвоить название Cod g. Если же функция безымянна, тогда второму компоненту можно присвоить название Cod.
• Третий компонент тройки-функции $\langle X,Y,Z\rangle$, который является функциональным соответствием, можно называть графом функции. Если функция имеет имя (например, имя g), тогда третьему компоненту Z указанной тройки можно присвоить название Gra g. Если же функция безымянна, тогда третьему компоненту можно присвоить название Gra.
• Если упорядоченная тройка $\langle Dom,Cod,Gra\rangle$ является функцией, тогда:

высказывание "$x\in Dom$" равносильно высказыванию "$x$ - это аргумент функции.",

высказывание "$y\in Cod$" равносильно высказыванию "$y$ - это возможное значение функции.",

высказывание "$y\in Cod\land \langle x,y\rangle \in Gra$" равносильно высказыванию "$y$ - это фактическое значение функции.",

высказывание "$x\in Dom\land y\in Cod\land \langle x,y\rangle \in Gra$" равносильно высказыванию "$x$ - это прообраз $y$, а $y$ - это образ $x$."

• Множество, которое состоит из всех фактических значений функции, называется множеством значений функции (образом множества $Dom$). Если функция имеет имя (например, имя g), тогда множеству значений функции можно присвоить имя Ran g или g(Dom g). Если же функция является безымянной, тогда множеству значений функции можно присвоить имя Ran.

NB. Если функция не имеет имени, тогда Ran $=\{y|\exists x(\langle x,y\rangle \in Gra\}\ \land$ Ran $\subseteq$ Cod

NB. Если функция имеет имя g, тогда g(Dom g) = Ran g $=\{y|\exists x(\langle x,y\rangle \in Gra\}\ \land$ Ran g $\subseteq$ Cod g

• С моей точки зрения, раздел "История" статьи "Функция" следует сделать заключительным разделом статьи и включить в этот раздел толкования понятия "функция", сделанные русскими и советскими математиками. Например:

проф. Г.М. Фихтенгольц писал: "...переменная $y$ называется функцией от переменной $x$ в области её изменения $X$, если по некоторому правилу или закону каждому значению $x$ из $X$ ставится в соответствие одно определенное значение $y$ (из $Y$).",

проф. Г.Е. Шилов писал: "Пусть имеются множество $X$, состоящее из элементов $x$, и множество $Y$, состоящее из элементов $y$. Пусть каким-то способом $f$ каждому элементу $x\in X$ поставлен в соответствие элемент $y\in Y$; тогда соответствие $x\rightarrow y$ (или $y=f(x)$) называется функцией с областью определения $X$ и областью значений $Y$.",

проф. В.А. Зорич писал: "Говорят, что имеется функция, определённая на $X$ со значениями в $Y$, если в силу некоторого закона $f$ каждому элементу $x\in X$ соответствует элемент $y\in Y$.",

проф. А.Г. Свешников и акад. А.Н. Тихонов писали в "основных определениях": "Будем говорить, что на множестве $E$ комплексной плоскости задана функция комплексной переменной, если задан закон, ставящий в соответствие каждой точке множества $E$ некоторое комплексное число.",

акад. Я.Б. Зельдович писал "для начинающих": "Функциональная зависимость одной величины ($y$) от другой ($x$) означает, что каждому значению $x$ соответствует определённое значение $y$.",

акад. А.Н. Колмогоров писал для читателей журнала "Квант": "[при помощи разъяснений на примерах...] мы подойдём к понятию функции, считая его одним из основных математических понятий, не подлежащих формальному определению."

• С моей точки зрения, дальнейшие сведения можно не включать в энциклопедическую статью "Функция", которая отвечает на вопрос: "Что такое функция?"
• С моей точки зрения, в энциклопедическую статью, посвящённую сравнению функций, можно включить следующие сведения.

Если $f=\langle Dom\ f,Cod\ f,Gra\ f\rangle$ и $g=\langle Dom\ g,Cod\ g,Gra\ g\rangle$ - две функции, тогда $f=g\ \Leftrightarrow \ Dom\ f=Dom\ g\land Cod\ f=Cod\ g\land Gra\ f=Gra\ g$

В этой статье можно обратить внимание читателя на то, что одно и то же "правило" создаёт и функцию, и нефункцию. В самом деле:

1) Из аксиомы $\forall x(x=x)$ получаем "Железное правило", а именно $\langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle$,

2) Если $X=\{0\}\land Y=\{a\}\land Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle =X\times Y\land$ Железное правило$\}$, тогда тройка $\langle X,Y,Z\rangle$ является функцией,

2) Если $X=\{0,1\}\land Y=\{a,b\}\land Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle =X\times Y\land$ Железное правило$\}$, тогда тройка $\langle X,Y,Z\rangle$ не является функцией.

В этой статье можно обратить внимание читателя на то, что отличие в "правилах" не является основанием для того. чтобы считать сравниваемые функции разными. В самом деле:

1) вышеупомянутое "Железное правило" $\langle x,y\rangle =\langle x,y\rangle$ отличается от "Заурядного правила" $\langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle$

2) Если $X=\{0\}\land Y=\{a\}\land Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle =X\times Y\land$ Железное правило$\}$, тогда тройка $\langle X,Y,Z\rangle$ является функцией,

3) Если $X=\{0\}\land Y=\{a\}\land Z=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle =X\times Y\land$ Заурядное правило$\}$, тогда тройка $\langle X,Y,Z\rangle$ является функцией,

4) функции, указанные в двух предыдущих пунктах, совпадают.

• C моей точки зрения, в энциклопедическую статью "Сужение и продолжение функции" можно включить следующие сведения.

Если тройка $\langle Dom,Cod,Gra\rangle$ является функцией с $Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in Dom\times Cod\land P[\langle x,y\rangle ]\}$ и $X\subset Dom\land X\neq \varnothing$, тогда сужением указанной функции называется функция $\langle X,Cod,Gra^{*}\rangle$ с $Gra^{*}=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in X\times Cod\land P[\langle x,y\rangle ]\}$

• С моей точки зрения, в энциклопедическую статью, посвященную классификации функций, можно включить следующие сведения.

Согласно Н. Бурбаки, функция может быть биективной (биекцией), сюръективной (сюръекцией), инъективной (инъекцией).

Биективная функция = функция $\land \ \forall y(y\in Cod\rightarrow \exists !x(x\in Cod\land \langle x,y\rangle \in Gra)$,

при этом каждая биективная функция такова, что $|Dom|=|Cod|\land Ran=Cod$,

Сюръективная функция = функция $\land \ \forall y(y\in Cod\rightarrow \exists x(x\in Dom\land \langle x,y\rangle \in Gra)$,

при этом каждая сюръективная функция такова, что $|Dom|\geqslant |Cod|\land Ran=Cod$

Инъективная функция = функция $\land \ \forall x_{1}\forall x_{2}(\langle x_{1},y_{1}\rangle \in Gra\land \langle x_{2},y_{2}\rangle \in Gra\rightarrow (y_{1}=y_{2}\rightarrow x_{1}=x_{2}))$

при этом каждая инъективная функция такова, что $|Dom|\leqslant |Cod|\land Ran\subseteq Cod$.

NB Существуют четыре типа функций, а именно:

1) сюръективные и инъективные функции (биективные функции),

Пример. Если $Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0\}\times \{a\}\land \langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle \}=\{\langle 0,a\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0\},\{a\},\{\langle 0,a\rangle \}\rangle$ является сюръективной и инъективной функцией.

2) инъективные, но не сюръективные функции,

Пример. Если $Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0\}\times \{a,b\}\land \langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle \}=\{\langle 0,a\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0\},\{a,b\},\{\langle 0,a\rangle \}\rangle$ является инъективной, но не сюръективной функцией.

3) сюръективные, но не инъективные функции,

Пример. Если $Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0,1\}\times \{a\}\land (\langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle \lor \langle x,y\rangle =\langle 1,a\rangle )\}=\{\langle 0,a\rangle ,\langle 1,a\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0,1\},\{a\},\{\langle 0,a\rangle ,\langle 1,a\rangle \}\rangle$ является сюръективной, но не инъективной функцией.

4) не сюръективные и не инъективные функции

Пример. Если $Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in \{0,1\}\times \{a,b\}\land (\langle x,y\rangle =\langle 0,a\rangle \lor \langle x,y\rangle =\langle 1,a\rangle )\}=\{\langle 0,a\rangle ,\langle 1,a\rangle \}$, тогда тройка $\langle \{0,1\},\{a,b\},\{\langle 0,a\rangle ,\langle 1,a\rangle \}\rangle$, которая является постоянной [функцией], не является ни сюръективной, ни инъективной функцией.

Если $|Dom|\geqslant 2\land |Cod|\geqslant 2$, тогда каждая постоянная функция $Dom\mapsto Cod$ не является ни сюръективной, ни инъективной функцией.

• С моей точки зрения, в энциклопедическую статью "Преобразования (математика)" следует включить следующие сведения.

Преобразованием называется функция, у которой Dom = Cod = Ran.

Простейшее преобразование имеет вид $\langle \{\varnothing \},\{\varnothing \},\{\langle \varnothing ,\varnothing \rangle \}\rangle$

Самое известное преобразование называется тождественным преобразованием и имеет вид $\langle Dom,Dom,Gra\rangle$ c $Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in Dom\times Dom\land y=x\}$

NB Правило $y=x$ равносильно правилу $\langle x,y\rangle =\langle x,x\rangle$.

Примерами преобразований являются преобразования Галилея и преобразования Лоренца, упоминаемые в учебники В.А. Зорича "Математический анализ".

• C моей точки зрения, в энциклопедическую статью "Обратная функция" можно включить следующие сведения.

Если $\langle Dom,Cod,Gra\rangle$ является биективной функцией с $Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in Dom\times Cod\land P[\langle x,y\rangle ]\}$, тогда обратной функцией к указанной биективной функции называется функция $\langle Cod,Dom,Gra^{-I}\rangle$ с $Gra^{-I}=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in Cod\times Dom\land P[\langle y,x\rangle ]\}$

Пример. Функция $\langle \{0,1\},\{a,b\},\{\langle 0,b\rangle ,\langle 1,a\rangle \}\rangle$ - биекция. Обратной к этой биекции является функция $\langle \{a,b\},\{0,1\},\{\langle b,0\rangle ,\langle a,1\rangle \}\rangle$, которая тоже является биекцией.

NB. Операция обращения функции (преобразования функции в обратную функцию) по существу не отличается от операции обращения соответствия.

• С моей точки зрения, в энциклопедическую статью "Композиция (суперпозиция) функций" можно включить следующие сведения.

Если $f_{1}=\langle Dom\ f_{1},Cod\ f_{1},Gra\ f_{1}\rangle$ и $f_{2}=\langle Dom\ f_{2},Cod\ f_{2},Gra\ f_{2}\rangle$ - функции и $Ran\ f_{1}=Dom\ f_{2}$, тогда композицией указанных функций называется функция $f_{2}\circ f_{1}=\langle Dom\ f_{1},Cod\ f_{2},Gra\ f_{2}\circ f_{1}\rangle$ с $Gra\ f_{2}\circ f_{1}=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in Dom\ f_{1}\times Cod\ f_{2}\land \exists z(\langle x,z\rangle \in Gra\ f_{1}\land \langle z,y\rangle \in Gra\ f_{2})\}$

Пример. Пусть $f_{1}=\langle \{0,1\},\{c,d\},\{\langle 0,c\rangle ,\langle 1,c\rangle \}\rangle$ и $f_{2}=\langle \{c\},\{\beta \},\{\langle c,\beta \rangle \}\rangle$. В таком случае:

1) композиция $f_{2}\circ f_{1}$ возможна, поскольку $Ran\ f_{1}=\{c\}=Dom\ f_{2}$,

2) $f_{2}\circ f_{1}=\langle \{0,1\},\{\beta \},\{\langle 0,\beta \rangle ,\langle 1,\beta \rangle \}\rangle$,

3) композиция $f_{1}\circ f_{2}$ невозможна, поскольку $Ran\ f_{2}=\{\beta \}\neq \{0,1\}=Dom\ f_{1}$.

NB. Операция композиции функций $\circ$ по существу не отличается от операции композиций соответствий.

Если $f_{1}=\langle Dom\ f_{1},Cod\ f_{1},Gra\ f_{1}\rangle ,\ f_{2}=\langle Dom\ f_{2},Cod\ f_{2},Gra\ f_{2}\rangle$ и $f_{3}=\langle Dom\ f_{3},Cod\ f_{3},Gra\ f_{3}\rangle$ - функции, и $Ran\ f_{1}=Dom\ f_{2}$ и $Ran\ f_{2}=Dom\ f_{3}$, тогда композицией указанных функций называется функция $f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}=\langle Dom\ f_{1},Cod\ f_{3},Gra\ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}\rangle$ с $Gra\ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in Dom\ f_{1}\times Cod\ f_{3}\land \exists z_{1}\exists z_{2}(\langle x,z_{1}\rangle \in Gra\ f_{1}\land \langle z_{1},z_{2}\rangle \in Gra\ f_{2}\land \langle z_{2},y\rangle \in Gra\ f_{3})\}$

NB. Операция композиции функции $\circ$ является ассоциативной, то есть $f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}=f_{3}\circ (f_{2}\circ f_{1})=(f_{3}\circ f_{2})\circ f_{1}$

• С моей точки зрения, разумно перечислять способы задания функций в следующем порядке: 1) перечисление, 2) аналитически, 3) графически. В самом деле, сначала функцию $\langle \{0,1\},\{0,1\},\{\langle 0,1\rangle ,\langle 1,0\rangle \}\rangle$ можно перечислить (в виде таблички), затем указанную функцию можно задать аналитически, положив $Dom=\{0,1\}\land Cod=\{0,1\}\land Gra=\{\langle x,y\rangle |\langle x,y\rangle \in Dom\times Cod\land y=1-x\}$.

NB. От наблюдения к аналитической записи, а от аналитической записи к визуальному образу (графику).

• 94.26.145.33 14:55, 9 февраля 2023 (UTC)

Немного критики (2010-06-08)

0. Я полагаю, что в нулевом приближении можно взять за основу английскую версию. Безусловно, перевод англовики — не всегда самый хороший метод написания статей, но в данном случае по беглому взгляду на английскую статью она мне скорее нравится.

1. На мой взгляд, лид должен быть в первую очередь «человекочитаемым». Поэтому абзац «По сути, функция — это специальным образом устроенное отношение (множество упорядоченных пар), где первый элемент пары называется аргументом, а второй элемент — результатом: при заданном значении аргумента функциональная зависимость обеспечивает конкретное значение результата; последнее и называется значением функции (при заданном значении аргумента)», видимо, надо перенести куда-то вниз, либо переформулировать. Аналогично, у меня есть сомнения в том, что читателю, не знакомому с теорией категорий, что-то скажет фраза «Отдельная ветвь исследований — это изучение функций («стрелок»), как исходных объектов. Сюда относится теория категорий и теория топосов». Её необходимо либо переформулировать, либо куда-то переместить (что за стрелки такие? какие такие «исходные объекты»? как их изучать?)

2. Мне не нравится то, что раздел «Связанные определения» начинается с повтора первых двух предложений из лида. (Оно же повторяется в третий раз в разделе «Область определения и область значений».) Далее, когда говорится о графике, вводятся сразу формальные конструкции. Это если и делать, то сильно позже. Нормальный человек может сначала представить себе «график», как картинку зависимости температуры от времени, и только потом осознать, что это на самом деле подмножество в декартовом произведении прообраза на образ. Никак не наоборот, и именно в таком порядке и должно идти изложение.

3. Я полагаю, что от утверждений с кванторами надо избавляться. Мы пишем не книжку по матлогике, а статью, которая должна быть понятной.

Ilya Voyager 22:22, 7 июня 2010 (UTC)

Эмм, пока просмотрел внимательно преамбулу, и на ней и споткнулся; собрался написать и вижу, что Илья меня опередил. :)

Действительно, лучше было бы сказать что-нибудь вроде

«Функция — правило, по которому элементам одного множества (области определения) сопоставляются элементы другого (области значений). Также говорят об отображении из первого множества во второе. Терминологически, слово „функция“ чаще применяют для отображений с числовыми значениями.»

Для вводных слов -- достаточно... --Burivykh 05:55, 8 июня 2010 (UTC)

Попробую ответить.

1. Статья находится ещё в процессе написания. На мой взгляд, сейчас статья заполнена где-то на четверть. Я планировал сначала описать максимально полно, но сжато формальную сторону вопроса («скелет»), а потом заняться словесным «мясом». В частности, я планировал предпослать статье целое «Введение», где, как раз, можно было неформально обсудить понятие функции и сориентировать читателя в дальнейшем изучении. Можно ли заранее набросать структуру статьи, не дожидаясь, когда каждый раздел будет написан? Мне не нравится, когда в статье висит соответствующий шаблон, как это сейчас происходит в статье «Теория бифуркаций». ;-/
2. Насколько я понял, «лид» — это преамбула. Моя точка зрения на преамбулу такова: преамбула — это краткое изложение содержания статьи, содержащее наиболее важные для понимания и представления формулировки. Поэтому, повтор закономерен и, я бы сказал, естественен: читатель прочитывает преамбулу, находит соответствующее место и овладевает контекстом.
3. Разумеется, надо будет провести сравнительный анализ версий из других языковых разделов. И тут должна потребоваться помощь знающих языки участников. Как это можно было бы сделать?

А теперь прокомментирую отдельные высказывания:

На мой взгляд, лид должен быть в первую очередь «человекочитаемым».

Я к этому стремлюсь. Но не в ущерб точности. Не упомянуть «бинарное отношение» невозможно. Но всегда можно попробовать переформулировать. Я вернусь к преамбуле после написания самой статьи. Правило трёх подходов: 1) краткий набросок; 2) структуризация; 3) реконструкция. ;-)

Поэтому абзац «По сути, функция — это специальным образом устроенное отношение (множество упорядоченных пар), где первый элемент пары называется аргументом, а второй элемент — результатом: при заданном значении аргумента функциональная зависимость обеспечивает конкретное значение результата; последнее и называется значением функции (при заданном значении аргумента)», видимо, надо перенести куда-то вниз, либо переформулировать.

Это и есть попытка связать в сознании читателя неформальное представление о функции как о блоке типа «вход-выход» и понятия функционального отношения (бинарного отношения специального вида). Формулировка пока неудачная, по это, пока, самое точное изложение сути вопроса: в преамбуле невозможно обойтись без общеизвестных понятий аргумент и значение (функции).

Аналогично, у меня есть сомнения в том, что читателю, не знакомому с теорией категорий, что-то скажет фраза «Отдельная ветвь исследований — это изучение функций («стрелок»), как исходных объектов. Сюда относится теория категорий и теория топосов». Её необходимо либо переформулировать, либо куда-то переместить (что за стрелки такие? какие такие «исходные объекты»? как их изучать?)

Для раскрытия темы существует основная часть статьи. А не упомянуть в преамбуле о теории категорий невозможно: читателю должно быть известно о существовании такой теории, причём, именно из преамбулы, потому что в большинстве случаев нормальному читателю нужна только преамбула.

Я полагаю, что от утверждений с кванторами надо избавляться. Мы пишем не книжку по матлогике, а статью, которая должна быть понятной.

Именно поэтому, статья начинается со словесных описаний, формальный аппарат вводится постепенно, но его нужно вводить обязательно, потому что одна из целей Википедии — дать представление о математическом уровне строгости: математика — это язык.

: Для вводных слов -- достаточно...

Наверное, можно иметь и короткую преамбулу. Но тогда обязательно придётся написать специальный раздел, в котором изложить суть вопроса. И, вообще, когда предлагается что-то сократить, было бы неплохо предлагать что-то взамен. Если на данную статью имеются перенаправления, то необходимо упомянуть эти понятия уже в преамбуле. --- Пока всё. Но надо помнить, что статья находится в процессе разработки. --OZH 08:04, 8 июня 2010 (UTC)

Набросать структуру можно, но я плохо понимаю, если шаблон {{planned}} вам не нравится, то как вы хотите её набросать? Повтор в какой-то мере возможен, но не дословный же? Про аргумент и значение можно говорить без «бинарных отношений» — не нужно вводить на этом этапе такие сущности. Про теорию категорий сказать можно, конечно, но только это нужно сделать как-то так, чтобы было понятно хоть на каком-то уровне. Я с теорией категорий не знаком, но какое-то общематематическое образование у меня есть, и мне эта фраза не дает вообще никакой информации. Вряд ли она что-то даст человеку, который вообще далек от математики. Кванторы — убирать. Не в них сермяжная математическая правда :) Ilya Voyager 18:11, 8 июня 2010 (UTC)

Сделано. (Ещё причешу.) А шаблон {{planned}} использовать придётся: тогда будет предметный разговор. --OZH 10:20, 9 июня 2010 (UTC)

Короткий комментарий про преамбулу: «Не упомянуть „бинарное отношение“ невозможно.» Для меня, это утверждение неочевидно: сказать нестрого (чтобы было видно, что не претендуем на строгость), но понятно, а формальное определение отнести вниз, в раздел «формальное определение» или как-нибудь так… Совершенно нормальный вариант, IMHO. --Burivykh 05:30, 10 июня 2010 (UTC)

О сути функции

По сути, функция — это специальным образом устроенное отношение. Апелляция к какой-то «сути» функции сбивает с толку. Теоретико-множественное определение функции наилучшее с точки зрения теоретических исследований, но оно наихудшее и даже бесполезное с прикладной точки зрения (за исключением таблиц, то есть когда множество определения функции конечно). Поэтому, на мой взгляд, лучше выразиться иначе: для теоретических целей удобно теоретико-множественное определение функции как бинарного отношения, и т. д. Кроме того, данный абзац вообще не на месте, его лучше перенести ниже, туда, где описывается бинарное отношение, и ясно указать, что первое определение функции как соответствия x => f(x) связано с новым тем, что каждая пара отношения имеет вид {x, f(x)}. LGB 10:50, 9 июня 2010 (UTC)

Дискуссия (перенесено с верха СО)

Мне кажется, надо признать, что для вики-обывателя термин "функция" связан прежде всего с "числовой функцией". Конечно, "по гамбургскому счету" отображения, преобразования, операторы, функционалы, вектор-функции и т.п. - это все функции. Но есть нюансы употребления этих терминов: в одной области математики говорят "функция", в другой "отображение", в третьей "преобразование" и т.д. Эти важные для читателя нюансы употребления надо разъяснять в энциклопедической статье прежде всего остального. По сему, мне кажется, статья - еще stub. - Helgus 05:40, 7 июня 2006 (UTC)

в моё время в младших классах школы объясняли, что функция - это отображение, поэтому что творится в голове "обывателя" - не очевидно. Анатолий 11:15, 8 июня 2006 (UTC)

По-сути функция и отображение одно и тоже, определяются по разному - работают одинаково. Gleb-ax 12:44, 22 мая 2009 (UTC)

Голова "вики-обывателя" для меня - это не отвлеченное понятие, а всем известный МЭС (1995) :) - Helgus 02:34, 9 июня 2006 (UTC)

"По-сути функция и отображение одно и тоже" -- бред чистой воды!!! На самом деле всякая функция является отображением, НО не всякое отображение является функцией!!! Отображение это просто сопоставление элементам одного множества элементы другого (или этого же) множества, а функция -- это отображение, во-первых, имеющее область определения (то есть функции y=x, D(x)=R и y=x D(x)=[0;1] различные функции) и, во-вторых, КАЖДОМУ аргументу (вектору x=(x_0,x_1,...,x_n) для n-мерной функции) соответствует ЕДИНСРВЕННОЕ значение аргумента. То есть можно сказать что существует ОТОБРАЖЕНИЕ отрезка в окружность, НО НЕ СУЩЕСТВУЕТ функции переводящей отрезок в окружность, можно лишь задать уравнение окружности.(217.118.92.44 15:59, 11 июня 2010 (UTC)Алексей)

Функция $f$, ставящая в соответствие каждому $x$ единственную точку $f(x)$ с координатами $(\cos 10x,\sin 10x)$ и имеющая областью определения отрезок $[0,1]$ вполне себе переводит отрезок в окружность. GS 17:09, 11 июня 2010 (UTC)

на сколько я понял в данном случае рассматривается функция f из множества действительных чисел (если точнее из отрезка [0,1]) в декартов квадрат множества действительных чисел? дааа... я с таким первый раз встречаюсь, обычно все наоборот: аргумент это вектор, а значение это число, то есть всякая функция задавалась аналитически, но тут... разрыв мозга какой то, но на мой взгляд что то очень мутное такое задание функции, а почему так грубо нельзя рассмотреть точки (cos(2*pi*x),sin(2*pi*x))?(Алексей)217.118.92.45 18:32, 11 июня 2010 (UTC)

Совместная работа над статьёй

По этой теме необходимо выполнить следующую работу: Правка: Обратное отображение, Инъекция, Сюръекция, Биекция

Таковы мои планы. --OZH 08:47, 25 июня 2010 (UTC)

Что-то всё равно как-то не очень читаемо, на мой скромный взгляд. И литературы маловато. Это уже конечный вариант означенной работы над статьёй? Я смотрю, с пятого числа правок не было. Примеров надо добавить что-ли… Shlakoblock 19:08, 14 июля 2010 (UTC)

Короче, посмотрел, что к чему. Добавил пока что только в преамбулу несколько простеньких мыслей, которые там, на мой взгляд, должны быть, и картинку, как в англопедии. Даже не знаю, что делать. В свободное время, наверное, займусь статьёй. Пока проблемы такие:

• Есть раздел «Введение». По идее, для введения есть преамбула. Реально введение нужно, если все основные моменты, которые должны быть сказаны до основного текста (в нашем случае, до определения функции), не помещаются в три абзаца. Во введении сейчас довольно сумбурная информация, на мой взгляд. Может, запихать всё необходимое в преамбулу и снести его? До этого в преамбуле вообще было только одно предложение.
• Почему «Связанные определения»? Я, может, чего-то не понимаю, но это не «связанные», а самые основные определения функции. Плюс так и не увидел там строгого определения функции через соответствия, а оно должно бы там быть. И много лишних определений, на мой взгляд. Зачем, например, в статье Функция давать определение тождественного преобразования? Тем более, что есть такая статья. Как пример функции ещё сойдёт, конечно. В общем, надо добавить нормальное определение функции, а лишние связанные определения, вероятно, убрать или перенести в примеры.
• Как уже написано в плане, нужны примеры и список литературы посолиднее.

Как-то так. Shlakoblock 20:22, 14 июля 2010 (UTC)

Конечно, это не конечный вид статьи, а, только, её дальний набросок. Задачу нужно решать последовательно. В данном случае, следует накопить приличный материал, который потом можно будет, в случае чего, перераспределить. Далее:

• Изначально, я планировал более длинную преамбулу. Это, даже, более желательный вариант для такой обзорной статьи, как данная. Мне пришлось, пока, сохранить во введении то, что изначально было в преамбуле, потому что тут надо ещё искать консенсус с другими участниками. Не стоит забывать о том, что у других участников могут быть другие представления о том, как должна выглядеть преамбула. Есть тут сторонники и короткой преамбулы. Они советуют избегать многословия в преамбуле.
• Раздел «Связанные определения» предназначен для перечисления всех определений, которые нужны для понимания понятия функции: тут есть и различные определения самой функции и другие сопутствующие определения. По идее, читатель должен иметь перед глазами замкнутый текст, достаточный для знакомства с предметом. Для более подробного изложения отдельных аспектов и объектов существуют отдельные статьи. тождественное преобразование требуется для того, чтобы иметь возможность дать описание свойств функции на теоретико-функциональном языке. Тут важен хронологический принцип построения материала: весь аппарат должен быть описан до того, как пойдёт перечисление свойств и примеров. тождественное преобразование трудно назвать примером, это именно понятие — необходимая часть языка математики.

Я бы предложил, пока, не трогать ни преамбулу, ни введение. К этому можно будет вернуться уже после того, как остальная часть статьи будет полностью написана и вычитана. В ближайших планах: доделать свойства, найти хорошие примеры и сформировать максимально допустимый (по объёму) список литературы. --OZH 07:51, 15 июля 2010 (UTC)

Немного подшаманил, принимаю критику.

• Убрал лишнее абзацное членение в преамбуле. Теперь, на мой скромный взгляд, она выглядит очень даже хорошо. Довольно просто и понятно написано, ровно три абзаца, как доктор прописал. Я понял идею не трогать преамбулу, пока не будет залита вся нужная информация, но надо понимать, что преамбула — это первое, что видит читатель в статье. Надо бы поддержать её в удобочитаемом виде, я считаю.
• Всё же переименовал «Связанные определения» просто в «Определения». Так всё же лучше смотрится, на мой взгляд. Ясно, что это и определения самого понятия функции, и свяазанные с ними.
• Удалил кое-что, на мой взгляд, лишнее из начала определений. Оно, вроде бы, дублировало то, что написано ниже и выше. Если чем-то виноват, то прошу простить.
• Добавил авторитетный источник к основному определению. Авторитетнее некуда. Ещё там кое-что добавил.
• Добавил раздел «Способы задания функции». Нужен же?
• Добавил несколько показательных (на мой взгляд) примеров.

А вот что не стал делать:

• Введение не трогал, но меня от него, мягко говоря, воротит. «Понятие функции, наравне с понятием множества, является фундаментальным понятием математики». Это разве правда? Понятие функции отлично вводится через понятие множетсва, так что фундаментальным уже не является. Ну и в этом духе.
• Не правил теоретико-множественное определение, ибо есть некоторая нестыковка в терминологии. У нас вот в универе читали так: отношение может быть задано только на одном и том же множестве, а если оно задано на нескольких множествах, то это не отношение, а соответствие. У нас в википедии же всё иначе. Proof me wrong. Вопрос собственно, в какой книжке как написано.
• История понятия функции — это не статья, а редирект на Числовая функция. Нельзя ссылаться на неё, как на основную статью в разделе «Исторический очерк». Нужна или отдельная статья, или перенести сюда целый раздел из числовой функции, так как у нас тут более общая статья и тут ему самое место.
• Надо бы где-нибудь написать, наверное, что функции многих переменных — это просто функции от таких кортежей. Что они сводятся к обычным и попадают под общее определение.

Такие дела. Shlakoblock 19:32, 15 июля 2010 (UTC)

Вы немного поторопились с некоторыми правками, особенно там, где приведены примеры. Поясняю:

• Я хотел бы разделить материал таким образом, чтобы в данной статье были наиболее общие вещи, необходимые для понимания функции как абстрактного математического понятия, а статью Числовая функция сделать наиболее конкретной и приближённой к практике. В этой последней примеры будут очень уместны. А здесь примеры следует отобрать особенные.
• Мы можем составлять упорядоченные пары элементов произвольных множеств. Это и будут отношения. Соответствием или функцией такое отношение будет только при выполнении условия единственности образа. А вот специальные отношения, заданные на некотором множестве — просто частный случай отношений общего вида.
• То, что касается истории вопроса, то я пока оставил всё в таком виде из прошлой редакции, чтобы не потерялось. Историю вопроса придётся писать отдельно и тщательно.

Вечером гляну, что изменено. Чего-нибудбь ещё напишу… Вам спасибо. --OZH 06:30, 16 июля 2010 (UTC)

Вот я и говорю, у нас читали не так. Соответствием называли то, что Вы называете отношением. А функцией (или отображением, операцией, оператором и иже с ними) называли функциональное соответствие, то есть соответствие, которое обладает указанным Вами свойством. Где бы книжку посерьёзнее взять на эту тему. Shlakoblock 15:30, 16 июля 2010 (UTC)

Возьмите у Фихтенгольца: Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I, глава 2, § 45: Определение понятия функции. Там классический подход, не теоретико-множественный. LGB 16:12, 16 июля 2010 (UTC)

Само собой, читал Фихтенгольца. Мне как раз теоретико-множественное определение интересно теперь. Shlakoblock 18:10, 17 июля 2010 (UTC)

Может почистить обсуждение ?

Обсуждение заросло. Читать трудно. Обсуждения в конце дублируют лучшим языком начало. Uhbif19 15:48, 1 августа 2010 (UTC)

чистить неполагается, наверно можно кое-что убрать в архив...--Тоша 22:14, 3 августа 2010 (UTC)

Восстановление статьи

Уважаемый OZH, хочу высказать несколько замечаний по поводу последних правок.

• Определения мне так действительно нравятся больше.
• Примеры были действительно числовых функций, так что ничего плохого в их переносе не вижу. Но в этой статье всё равно нужны примеры. Может, хотя бы парочку оставить было?
• Что касается способов задания функций. Это ведь не способы задания числовых функций, а просто общие способы задания функций. Так же задаются и булевы функции, например, или разные операции и операторы. Разве им место не в общей статье?

Что думаете касательно последнего? Shlakoblock 16:20, 29 августа 2010 (UTC)

Я сам хотел написать об этом, так что присоединяюсь к вышесказанному. Чтобы не повторяться, можно дать примеры и способы задания для нечисловых функций (логические, векторные, вероятностные и др.). Как уже сказано, в статье Числовая функция табличное задание иллюстрируется для логической функции — явный непорядок. LGB 16:37, 29 августа 2010 (UTC)

Полностью согласен со всем вышесказанным (реплики участников Shlakoblock, LGB). Статья Числовая функция пока используется для временного пристанища полезной информации. То что касается примеров, то я мыслил себе эти примеры обобщёнными. Тождественное отображение, в некотором смысле, тоже — пример функции. Я даже думаю, что в такой общей статье, как «Функция (математика)» примерами должны служить, как раз, различные классы или виды функций, которые бегло перечислены в разделе Функция (математика)#Классы функций: каждое сочетание пространств приводит к своему примеру функции, что, между прочим, является важным энциклопедическим содержанием, поскольку позволяет сориентировать читателя в материале и во множестве статей о функциях. Как только удастся дописать эту статью до приемлемого состояния, можно буде взяться и за статью Числовая функция. --OZH 19:11, 29 августа 2010 (UTC)

P.S. Дело за маленьким: убедить Тошу ничего не откатывать, а высказывать свои сомнения, возражения и опровержения здесь на СО. --OZH 19:11, 29 августа 2010 (UTC)

Если Tosha будет продолжать произвольные и неаргументированные откаты правок, прошедших широкое обсуждение, это уже граничит с вандализмом и будет основанием для обращения в Арбитраж. Тем более что такая нетерпимая практика с его стороны отмечена давно и неоднократно критиковалась, в том числе администрацией. Поскольку он уклоняется от участия в обсуждении разногласий на странице статьи, можно обращаться сразу в Арбитраж:Заявки. LGB 11:22, 30 августа 2010 (UTC)

Уважаемый OZH, плашка стоит уже неделю, причём в неположенном месте (её надо вешать наверх страницы, или вниз). На самом деле этот шаблон не должен стоять на статье больше двух дней. Тем более, тут такая важная статья. Чуть ли не центральная статья по математике. Нужно в ближайшее время привести статью в порядок и шаблон убрать: он осталяет негативное впечатление у потенциального читателя. И верните способы задания-то ) Shlakoblock 16:20, 6 сентября 2010 (UTC)

• Статья ещё далека от завершения. Хочется узнать, что там нужно приводить в порядок (в существующем материале)? Если существующее начало статьи устраивает, можно будет двигаться дальше. Шаблон, конечно, мешает. А как ещё можно предупредить редактора о том, что здесь производятся работы? Шаблон несколько неудобен. Что посоветуете? «Способы задания» более подходят для статьи Числовые функции. Но я ещё думаю над тем, как описывать их в общей статье. --OZH 19:15, 6 сентября 2010 (UTC)
  • Ну если хотите моё мнение, то по большей части там уже всё нормально, но ощущается незавершённость. Начало мне действительно нравится. Некоторые кусочки изложения там дальше кажутся суховатыми или даже излишними (например, в примерах длинный шмат текста), что, вероятно, вызвано отсутствием внутренних ссылок, которые там могли бы быть. Есть некоторые проблемы с форматированием, например, после раздела Примеры идёт длинное пустое пространство (много переводов строк), что недопустимо. Шаблон технически ничего не делает, но этически он блокирует статью, защищая её от редактирования другими участниками. Именно поэтому считается нехорошо держать его долго. Способы задания-то почему для числовых функций? Произвольные функции задаются теми же способами: либо формула, либо график (например, граф отношения), либо таблично (расписание поездов), либо просто на словах. Разве нет? Shlakoblock 17:40, 7 сентября 2010 (UTC)
    • Раздел «Примеры» сейчас постепенно наполняется. Когда я соберу достаточно материала, а пройдусь ножницами и посмотрю, что можно будет убрать/перенести. Но у нас энциклопедия, а не формулы! (Надо ещё и объяснять.) То, что касается задания функций, мне почему-то кажется, что для этого нужна отдельная статья. Но об этом подумаем позже. Мне ещё надо написать два раздела: «Дополнения» и «Замечания». Вот в дополнениях и могут оказаться способы задания. --OZH 18:16, 7 сентября 2010 (UTC)
• Дело в том, что я каждый день что-то добавляю в статью. (Кроме сегодняшнего дня.((() Не будешь же какждый раз править дату в шаблоне. ;-) --OZH 19:17, 6 сентября 2010 (UTC)

Статьи, связанные с данной

Предлагаю также создать отдельные статьи - "Область определения функции" (аналог - en:Domain of a function), "Область значения функции" (аналог - en:Range (mathematics)) вместо существующих перенаправлений на текущую статью. --Averaver 03:56, 4 сентября 2010 (UTC)

Хорошая идея. Создавайте ;-) Shlakoblock 14:45, 5 сентября 2010 (UTC)

Сделано! --OZH 15:27, 5 сентября 2010 (UTC)

Неужели? Надеюсь, это не всё и есть шанс к расширению, хотя не понимаю, что там много можно сказать. --infovarius 17:31, 5 сентября 2010 (UTC)

Давайте попробуем! По-крайней мере, вариант из ЭнВики подсказывает путь наполнения. Проведём эксперимент. --OZH 18:56, 5 сентября 2010 (UTC)

• Ниже будем собирать список статей, связанных с данными. --OZH 15:27, 5 сентября 2010 (UTC)
• Кое-что уже сделано… --OZH 16:38, 13 сентября 2010 (UTC)

Планы: 2010-09-13

По этой теме необходимо выполнить следующую работу: Правка: Разделы: «Примеры», «Дополнения» и «Замечания»

Убедительная просьба: дождаться окончания редактирования и уже потом предъявлять к статье какие-либо требования. Всё-равно, потом придётся заняться оптимизацией материала. Сначала следует собрать весь материал! --OZH 16:42, 13 сентября 2010 (UTC)

OZH, если надо что-то подготовить, то это можно сделать в другом месте, но если Вы правите саму статью то делайте так, чтоб она становилась лучше (тогда никто «предъявлять» ничего не будет). --Тоша 17:43, 15 сентября 2010 (UTC)

Согласен. Надо стремиться к тому, чтобы в каждый момент времени статья выглядела приемлемо. Чтобы не было заготовок, повисающих в воздухе утверждений… Прямо сейчас и начнём! --OZH 19:55, 15 сентября 2010 (UTC)

Благодарность

Ребята, благодарю за эту и подобные статьи. Очень хорошо написаны. Я после вуза изучаю матан с нуля по долгу службы в том числе и по вики. Очень толково пишете. — Эта реплика добавлена с IP 194.186.62.37 (о) 1 сентября 2011 (UTC).

Огромная благодарность за статью! Очень ясно и понятно написано! — Эта реплика добавлена с IP 194.186.38.74 (о) 17 декабря 2016 (UTC).

О равенстве функций

Уважаемый Slavakry, разрешите узнать каким образом (см. [1]) функции, заданные в виде $(f,X,Y)$, могут быть равны лишь при совпадении графиков ($f\subseteq X\times Y$)? Понятно, что и такое определение равенства допустимо (и порождает классы равных функций), но хотелось бы прийти к единому знаменателю. Хотелось бы увидеть АИ и доводы в пользу того или иного определения равенства. РоманСузи 12:27, 28 марта 2015 (UTC)

Это формулировка понятия функции с помощью множеств. Но суть понятия функции от этого не меняется. Задание функции - способ (посредством формулы, графический, табличный). Используя понятие функции как соответствие, "совпадение графиков" означает: Две функции называются равными, если совпадают области определения этих функций и для любого значения аргумента совпадают значения этих функций. Чтобы это понять достаточно внимательно прочитать формулировку понятия функции.--Slavakry 15:13, 29 марта 2015 (UTC)

Хорошо, положим область определения можно получить из множества пар (графика). Но как Вы отличите f1 и f3 (из добавленного мною примера), ведь в определении говорится об Y — области значений, а не области изменения. Совпадение графиков не позволяет различать функции с разными областями значений (но одинаковыми областями изменений). Именно это со всей строгостью и хотелось бы подтвердить. РоманСузи 17:57, 29 марта 2015 (UTC)

$\mathbb {R} ^{+}$-область неотрицательных чисел содержит все значения, как и область значений $\mathbb {R}$. То, что существует более широкое множество тех же вещественных чисел не делает функции несравнимыми, можно взять любую область из двух для наложения графиков, но объявить об этом. Вообще в анализе функций вещественной переменной область значений всегда вся вещественная прямая (вспомните число $y$). Дальше статья пока не идёт.--Slavakry 22:45, 29 марта 2015 (UTC)

Произношение

В английском варианте написано "f(x) (read "f of x")". А как в русском? "f(x) (читать "f от x")"? Не нашёл в статье правильного краткого произношения, чтобы каждый раз не повторять "зависимость f от x" "функция f от x". Просто я иностранец, хотя русский учу давно, поэтому хотел бы узнать у носителей языка. 84.237.62.10 12:29, 15 декабря 2017 (UTC)Тиачер

Да, именно так: эф от икс. Для самых популярных функций предлог можно опустить: синус икс, логарифм икс. LGB (обс.) 12:34, 15 декабря 2017 (UTC)

О правиле соответствия

Возможно, я что-то не так понимаю, тогда прошу пояснить, что есть «правило соответствия». В тексте статьи есть такая формулировка:

«Если элементу $\displaystyle x\in X$ сопоставлен элемент $\displaystyle y\in Y$, то тем самым на элементе $\displaystyle x$ задано и правило соответствия $\displaystyle f$ (которое может быть разным для разных элементов). Следовательно, задание соответствия на каждом элементе множества $\displaystyle X$ эквивалентно заданию функции $\displaystyle f$ на этом множестве. Поэтому понятие функции можно сформулировать без понятия правило и необходимости его обозначать:…»

Но она противоречит другой формулировке, приведенной чуть выше:

Говорят, что на множестве $X$ имеется функция (отображение, операция, оператор) $f$ со значениями из $Y$, если каждому элементу $x$ из множества $X$ по правилу $f$ поставлен в соответствие некоторый элемент $y$ из множества $Y$.

Правило соответствия согласно последнему должно быть задано, пусть и неявно, при сопоставлении. И, если оно задано неявно, то есть присутствует в соответствии элементов, мы можем его найти.

Совершенно верно. Соответствие (однозначное), если задано, представляет собой функцию - значение v в зависимости от t. Например, показания спидометра во времени. Самописец напечатает таблицу и нарисует график скорости, изменяющиеся по некоторому правилу. Заметим, правило спидометру было не известно до поездки и нарисовать функцию было нельзя из-за того, что соответствие (t, v(t) ) не было установлено даже при t=0. Правило будет известно лишь после поездки (после установления соответствия t->v(t)). Slavakry (обс.) 15:03, 13 января 2019 (UTC)

Но ведь бывают и соответствия, образованные без всякого правила,

Нет не бывают. Само соответствие (с требованием единственности v(t) для каждого t) является и правилом. Используется глагол совершенного вида "поставлен в соответствие". Функция всегда содержит правило и требование к функции ставить в соответствие "по некоторому правилу" является избыточным повтором, поскольку уже содержится в понятии однозначного соответствия. Скорее имеется в виду способ установления соответствия по формуле или словесному правилу. Поскольку посылка не верна, все утверждения ниже - тоже не верны. Slavakry (обс.) 15:03, 13 января 2019 (UTC)

но тогда мы никак не можем сказать:

«Если элементу $\displaystyle x\in X$ сопоставлен элемент $\displaystyle y\in Y$, то тем самым на элементе $\displaystyle x$ задано и правило соответствия

и, следовательно, не можем утверждать и

задание соответствия на каждом элементе множества $\displaystyle X$ эквивалентно заданию функции $\displaystyle f$ на этом множестве

PS. Автор статьи уже лет пять как отстранился. Кто-нибудь серьезно занимается его статьей? --Головорушко Сергей Яковлевич (обс.) 16:11, 1 марта 2018 (UTC)

1. Формулировки понятия функции не противоречат друг другу и приведены из стандартных университетских учебников. Сложность в описании (пояснении) начального понятия "функции" через другие начальные же понятия решается авторами исходя из личных предпочтений. Простор здесь невелик, пояснения понятий должны быть лаконичными и в начале курса.

2. Текст сокращен и ограничен замечанием избыточности пояснения "по определенному правилу" в формулировке понятия функции. Slavakry (обс.) 15:03, 13 января 2019 (UTC)

• По-моему, следующие два параграфа можно удалить без ущерба для статьи:

Если элементу $x\in X$ сопоставлен элемент $y\in Y$, то тем самым на элементе $x$ задано и правило соответствия $f$ (которое может быть разным для разных элементов). Следовательно, задание соответствия на каждом элементе множества $X$ эквивалентно заданию функции $f$ на этом множестве. Поэтому понятие функции можно сформулировать без понятия правило и необходимости его обозначать: Говорят, что на множестве $X$ задана функция $f$, принимающая значения из $Y$, если каждому элементу $x$ из множества $X$ поставлен в соответствие некоторый элемент $y$ из множества $Y$. Функцию обозначают также записью $y=f(x)$.

Они ничего нового не добавляют. — Алексей Копылов 17:37, 1 марта 2018 (UTC)

Образ и прообраз

Читая подраздел, споткнулся о:
«Образ всей области определения функции называется образом функции…»
разве не прообразом функции?! Разве образом функции является не область значений функции?..
·1e0nid· (обс.) 19:15, 30 декабря 2021 (UTC)

О правке 22:05, 28 января 2022‎

Коллега @Tosha, прокомментируйте удаление пояснений к математическим записям и объясните, пожалуйста, чем вызвано переименование раздела "Определение" в "Неформальное определение", если последнее приводится в преамбуле. Если вы не согласны со степенью формализма, укажите, пожалуйста, источник, где определение на ваш взгляд формально. Считаю, его обязательно нужно добавить. EvgeniiBidonov (обс.) 22:49, 29 января 2022 (UTC)

• То, что функция это «правило», это неформальное объяснение смысла, но не определение. Функция либо понятие неопределяемое, либо определяется через её график. ⰕⰑⰞⰀ·Ⱁⰱⱄ 23:08, 29 января 2022 (UTC)
  • Сейчас получается, что формальное (через график) определение содержится в разделе "Неформальное определение", может исправить ? EvgeniiBidonov (обс.) 22:22, 31 января 2022 (UTC)

О качестве статьи "Функция"

На мой взгляд, статья "Функция (математика)" удовлетворяет духовным потребностям как советских людей (то есть лиц, которые принадлежат множеству "советский народ", упоминаемому в последней конституции СССР), так и россиян (то есть лиц, которые принадлежат множеству "многонациональный народ Российской Федерации", упоминаемому в конституции РФ).

В статье "Функция (математика)" учтена "критика", которую изложил администратор Ilya Voyager (Илья Щуров) 7 июня 2010 года. В частности, указанная статья почти "избавлена" "от утверждений с кванторами", включая квантор всеобщности $\forall$ и квантор существования $\exists$. 94.26.145.33 10:36, 17 февраля 2023 (UTC)