Обсуждение:Экспонента

Как она появилась?

как она появилась, откуда взялась, каков смысл был ввода экспоненты в математику?:) 77.122.253.126 16:49, 6 июня 2008 (UTC) Ни фига не понятно. Напишите нормальное вступление или определение для чайников.--Pantzer 00:00, 8 декабря 2008 (UTC)

Комплексная экспонента

Сходимость данного ряда легко доказывается:

$\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=e^{|x|}$.

Кто понимает, почему тут $\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|$ ? --Nashev 13:52, 26 апреля 2010 (UTC)

Потому что $\left|e^{iy}\right|=1$ - число на единичной окружности. --infovarius 20:11, 26 апреля 2010 (UTC)

• Если можете, пожалуйста чуть подробнее! Откуда и почему тут окружность? --Nashev 22:22, 27 апреля 2010 (UTC)
• У меня складывается ощущение, что периодичность экспоненты по мнимой оси — искусственно введённая фича, из которой и получилась вся связь чисел $e$ и $\pi$, формулы Эйлера, экспоненциальная форма комплексных чисел и т. п. Но прямо это почему-то нигде не написано... Или я таки ошибаюсь? --Nashev 22:44, 1 мая 2010 (UTC)
• Хм.. Кажись, доказательство формулы Эйлера выводит эту периодичность через ряды Тейлора:

$e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$,
а тут уже первая скобка косинус, вторая - синус.

Осталось понять, как получается такое равенство, и почему без i из экспоненты тригонометрии не выходит. --Nashev 23:50, 1 мая 2010 (UTC)

• Ряды Тейлора (или Маклорена?). Их мне придётся пока брать за аксиоимы:

$\mathrm {e} ^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C}$

$\cos x={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$

$\sin x={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},x\in \mathbb {C}$

Расписал слагаемые в несокращённой форме, но это не до конца помогло: не понимаю, откуда в доказательстве формулы Эйлера берутся минусы? Наверно, это как-то связано с $i^{2}=-1$, но как? --Nashev 00:25, 2 мая 2010 (UTC)

Примерно так наверно оно вращается, если пустить n перпендикулярно мнимой плоскости

• Расписал себе поподробнее то доказательство:

$e^{ix}={\frac {(ix)^{0}}{0!}}+{\frac {(ix)^{1}}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+\ldots =$

${\frac {i^{0}x^{0}}{0!}}+{\frac {i^{1}x^{1}}{1!}}+{\frac {i^{2}x^{2}}{2!}}+{\frac {i^{3}x^{3}}{3!}}+{\frac {i^{4}x^{4}}{4!}}+{\frac {i^{5}x^{5}}{5!}}+\ldots =$

${\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {i\cdot x^{1}}{1!}}+{\frac {(-1)\cdot x^{2}}{2!}}+{\frac {i\cdot (-1)\cdot x^{3}}{3!}}+{\frac {(-1)\cdot (-1)\cdot x^{4}}{4!}}+{\frac {i\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot x^{5}}{5!}}+\ldots =$

$\left({\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$,

Источник периодичности обнаружил: она вытекает из чередования знака и мнимости целых степеней i. Забавно, как оно распространяется потом на нецелые степени и из этого получается плавное вращение! В итоге, у меня вопрос: стоит что-нибудь из этих изысканий в статью вносить, или всем кроме меня это самоочевидно? --Nashev 00:38, 2 мая 2010 (UTC)

Думаю, не стоит. Разобрались со своей личной непоняткой и хорошо. --infovarius 20:26, 2 мая 2010 (UTC)

Интересно, с какого перепугу из периодичности функции следует ее бесконечнолистность? Fxls 14:14, 27 октября 2011 (UTC)

Отдельная статья для матричной экспоненты

Материала более чем достаточно: en:Matrix_exponential Mikhael 666 mikhailovich 11:52, 21 декабря 2013 (UTC)

Единственная функция, производная которой совпадает с исходной функцией

В статье утверждается "Экспонента -- единственная функция, производная (а также соответственно и первообразная) которой совпадает с исходной функцией", но как тогда быть с функцией f(z) ≡ 0? — 188.18.129.33 06:12, 10 февраля 2020 (UTC)

Справедливое замечание. На самом деле, целое семейство функций — экспонента помноженная на константу. Вы привели вырожденный случай, — когда множитель равен 0. Пока для спасения положения добавил слова «с точностью до постоянного множителя». --Wisgest (обс.) 18:00, 10 февраля 2020 (UTC)