Основная гипотеза комбинаторной топологии

Основная гипотеза комбинаторной топологии (или Hauptvermutung) — гипотеза, утверждающая, что любые две триангуляции одного пространства допускают изоморфные подразбиения.

Была сформулирована в 1908 году Эрнстом Штайницем и Генрихом Титце.

Эта гипотеза была опровергнута в общем виде. Более того, она оказалась неверной для некоторых многообразий размерности 4 и выше.

История решения

Контрпример к общему случаю был построен Джоном Милнором в 1961 году с помощью кручения Райдемейстера.

Для многообразий гипотеза верна в размерностях 2 и 3. Эти случаи были доказаны Тибором Радо и Эдвином Моизом в 1920-х и 1950-х годах, соответственно.

Препятствие к выполнению гипотезы для многообразий было найдено Кэссоном и Деннисом Салливаном в 1967—1969 годах с использованием инварианта Рохлина.

Гомеоморфизм ƒ: N → М между m-мерными кусочно-линейными многообразиями имеет инвариант κ(ƒ) ∈ H³(M;Z/2Z) такой, что для m ≥ 5 ƒ изотопeн кусочно-линейному гомеоморфизму тогда и только тогда, когда κ(ƒ) = 0.

Препятствие к выполнению гипотезы являются относительным вариантом класса Кёрби — Зибенманна и определяется для любого компактного m-мерного топологического многообразия

$\kappa (M)\in H^{4}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

с использованием инвариант Рохлина. Для m ≥ 5 М имеет кусочно-линейную структуру (то есть допускает триангуляцию кусочно-линейным многообразием) тогда и только тогда, когда κ(ƒ) = 0, и в этом случае кусочно-линейные структуры определяются элементом H³(M;Z/2Z). В частности, существует только конечное число различных кусочно-линейных структур на М.

Для компактных односвязных многообразий размерности 4 Саймон Дональдсон нашел примеры с бесконечным числом неэквивалентных кусочно-линейных структур, и Михаил Фридман нашёл E8-многообразие, которое также не допускает триангуляции.

В 2013 году Киприан Манолеску доказал существование компактных многообразий размерности 5 (и, следовательно, любой размерности больше 5), которые не допускают триангуляции.