Плоскость Кэли

Плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли $\mathbb {O}$. Обычно обозначается $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}$. Была построена в 1933 году Руфь Муфанг и названа в честь Артура Кэли.

Построение

Точки плоскости Кэли могут быть определены как пучки прямых в $\mathbb {O} ^{2}$. Это построение аналогично построению проективного пространства, но не обобщается на старшие размерности.

Свойства

• Плоскость Кэли допускает разложение на три клетки, размерностей 0, 8 и 16.
• Плоскось Кэли является симметрическим пространством $F_{4}/\mathrm {Spin} (9)$, где F₄ — одна из особых простых групп Ли и $\mathrm {Spin} (9)$ — спинорная группа девятимерного евклидового пространства (она реализуется как подгруппа в $F_{4}$).
• Плоскость Кэли недезаргова.
  • В частности, из этого следует, что плоскость Кэли не вкладывается в проективное пространство.
• Для плоскости Кэли, существует вложение Веронезе $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}\to \mathbb {S} ^{25}$.
  • Это эквивариантное вложение, то есть действие $F_{4}$ на $\mathbb {O} \mathrm {P} ^{2}$ продолжается до изометрического действия на $\mathbb {S} ^{25}$.
  • Образ вложения является минимальным подмногообразием.