Преобразование Гольштейна — Примакова

Преобразование Гольштейна — Примакова — переход от операторов спина к операторам рождения и уничтожения магнонов (являющихся бозонами). Было предложено Теодором Гольштейном (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и Генри Примаковым (1914—1983) в оригинальной работе 1940 года.

Первое преобразование Гольштейна — Примакова

При изучении спиновых волн обычно переходят к циклическим комбинациям компонент спинов. Это выполняют следующим образом. Динамика магнитных моментов (или спинов) описывается уравнением Ландау — Лифшица. Предполагая, что ферромагнетик помещён в сильное магнитное поле напряжённостью $H_{\mathrm {ext} }$ вдоль оси z и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной S выполняются соотношения $S_{z}\approx S$, $S_{x,y}\ll S$) уравнение Ландау — Лифшица в приближении магнитной анизотропии для j-го спина принимает вид

${\frac {\mathrm {d} S_{j}^{x}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{i}^{y}-S_{j}^{y})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{y},$

${\frac {\mathrm {d} S_{j}^{y}}{\mathrm {d} t}}=-S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{x}-S_{i}^{x})+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{x},$

где магнитная анизотропия включена в обменный интеграл $J_{ji}$, g — фактор Ланде, $\mu _{B}$ — магнетон Бора. Для изучения спиновых волн эти два уравнения записывают для операторов

$S_{j}^{\pm }=S_{j}^{x}\pm iS_{j}^{y},$

в форме

${\frac {\mathrm {d} S_{j}^{\pm }}{\mathrm {d} t}}=\mp i\left(S\sum _{j}J_{ji}(S_{j}^{\pm }-S_{i}^{\pm })+g\mu _{B}H_{\mathrm {ext} }S_{j}^{\pm }\right),$

где i — мнимая единица.

В таком случае преобразованием Гольштейна — Примакова (первым) называют замену

$S_{j}^{+}={\sqrt {2S}}\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right)^{1/2}a_{j},\quad S_{j}^{-}={\sqrt {2S}}a_{j}^{\dagger }\left(1-{\frac {1}{2S}}a_{j}^{\dagger }a_{j}\right)^{1/2},$

где $a_{j}^{\dagger }$ — оператор рождения спиновых возбуждений (квазичастиц), $a_{j}$ — оператор их уничтожения.

Данное преобразование справедливо при низких температурах, когда число квазичастиц можно считать малым. Требование диагонализации спинового гамильтониана показывает, что элементарными возбуждениями ферромагнетика должны являться спиновые волны (то есть коллективные возбуждения), а не отклонения спинов от равновесного состояния, локализированные на узлах решётки.

Второе преобразование Гольштейна — Примакова

Иногда говорят о втором преобразовании Гольштейна — Примакова имея в виду переход к операторам рождения и уничтожения спиновых волн путём преобразования Фурье операторов для квазичастиц $a_{j}$ и $a_{j}^{\dagger }$ и их представления через волновые вектора $\mathbf {k}$:

$a_{\mathbf {k} }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j}a_{j}e^{-i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}},\quad a_{\mathbf {k} }^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{j}a_{j}^{\dagger }e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} _{j}}.$

Новые операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и «старые» и поэтому также могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения бозе-частиц, но которые уже являются коллективизированными. Спиновый гамильтониан, выраженный через них, диагонализуется, а сами операторы $a_{\mathbf {k} }$ и $a_{\mathbf {k} }^{\dagger }$ называют операторами уничтожения и рождения спиновых волн или магнонов.

См. также

• Вторичное квантование

Литература

• Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. — М.: Физматлит, 1994. — 464 с. — 2000 экз. — ISBN 5-02-014366-9.
• Давыдов А. С. Теория твердого тела. — М.: Наука, 1976. — С. 106—108. — 646 с.
• Х. Xакен. Квантовополевая теория твердого тела. — М.: Наука, 1980.
• T. Holstein, H. Primakoff. Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet // Phys. Rev. — 1940. — Т. 58, № 12. — С. 1098–1113. — doi:10.1103/PhysRev.58.1098.
• Kei Yosida. Theory of magnetism. — Springer, 1998. — Vol. 122. — P. 120—125. — 320 p. — (Springer series in solid-state sciences). — ISBN 9783540606512.
• Ulrich Rössler. Solid state theory: an introduction. — 2nd ed. — Springer, 2009. — 398 p. — ISBN 9783540927617.